Encontre uma expressão para Cp-C , se a equação de estado é : v=R TP-aR T+b.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra achar uma fórmula geral pra diferença entre as capacidades caloríficas a pressão constante e a volume constante, ou seja, Cp-Cv, quando o gás obedece à equação de estado
v = R,TP ;-;aR,T;+;b,
Isso é Termodinâmica pura: precisamos usar a identidade
Cp-Cv ;=;-,T,l(partial P/partial Tr)V^2l(partial P/partial Vr)T,,
calcular as derivadas parciais de P em função de V e T, e mandar ver na simplificação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de estado isolando P em função de v e T.
Partimos de
v - b ;=;R,TP;-;aR,T
Somando aR,T aos dois lados e invertendo:
$$v - b + \frac{a}{R,T} ;=;\frac{R,T}{P}
\quad\Longrightarrow\quad
P ;=;\frac{R,T}{,v - b + \dfrac{a}{R,T},},. v - b + aR,T ;=;R,TP Longrightarrow P ;=;R,T,v - b + dfracaR,T,, D ;=;R,T,(v - b);+;a, $$
então
D ;=;R,T,(v - b);+;a,,

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais que entram na fórmula.
  1. Derivada de P em relação a T a volume constante ( v fixo):
l(partial Ppartial Tr)v =partialpartial T!l(R^2T^2Dr) =2R^2T;D ;-;R^2T^2,(R,(v-b))D^2 =R^2T,[,2D - R,T,(v-b),]D^2,
Mas 2D - R,T,(v-b)=2(RT(v-b)+a)-RT(v-b)=RT(v-b)+2a, logo
$$\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{v}
=\frac{R{2}T,[,R,T,(v-b)+2a,]}{D{2}},. $$
  1. Derivada de l(partial Ppartial Tr)v =R^2T,[,R,T,(v-b)+2a,]D^2, em relação a P a temperatura constante ( v fixo):
T

Passo 4

Substituímos na identidade
$$C_{p}-C_{v} = -,T,\frac{\bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\bigr){v}^{2}}{\bigl(\frac{\partial P}{\partial v}\bigr){T}}
= -,T;\frac{\Bigl(\tfrac{R{2}T,[,RT(v-b)+2a,]}{D{2}}\Bigr){2}}{-,\tfrac{R{3}T{3}}{D{2}}},. Cp-Cv = -,T,l(partial Ppartial Tr)v^2l(partial Ppartial vr)T = -,T;l(tfracR^2T,[,RT(v-b)+2a,]D^2r)^2-,tfracR^3T^3D^2, C_{p}-C_{v}
= T;\frac{R{4}T{2},[,RT(v-b)+2a,]{2}}{D{4}};\cdot;\frac{D{2}}{R{3}T^{3}}
= R;\frac{[,RT(v-b)+2a,]{2}}{[,RT(v-b)+a,]{2}},. $$
Uma forma ainda mais enxuta usa Cp-Cv = T;R^4T^2,[,RT(v-b)+2a,]^2D^4;cdot;D^2R^3T^3 = R;[,RT(v-b)+2a,]^2[,RT(v-b)+a,]^2, e a relação D=RT(v-b)+a, chegando a
D=R^2T^2P

Resposta

Cp-Cv =R;l[,RT(v-b)+2ar]^2l[,RT(v-b)+ar]^2 ou, equiva<=ntemente, Cp-Cv =R;l(1+tfraca,PR^2T^2r)^2,

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