Encontre uma expressão para
se a equação de estado é :
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra achar uma fórmula geral pra diferença entre as capacidades caloríficas a pressão constante e a volume constante, ou seja,
, quando o gás obedece à equação de estado
Isso é Termodinâmica pura: precisamos usar a identidade
calcular as derivadas parciais de
em função de
e
, e mandar ver na simplificação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de estado isolando
em função de
e
.
Partimos de
Partimos de
Somando
$$v - b + \frac{a}{R,T} ;=;\frac{R,T}{P}
\quad\Longrightarrow\quad
P ;=;\frac{R,T}{,v - b + \dfrac{a}{R,T},},.
D ;=;R,T,(v - b);+;a, $$
então
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais que entram na fórmula.
- Derivada de
em relação a a volume constante ( fixo):
Mas
, logo
$$\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{v}
=\frac{R{2}T,[,R,T,(v-b)+2a,]}{D{2}},. $$
- Derivada de
em relação a a temperatura constante ( fixo):
Passo 4
Substituímos na identidade
$$C_{p}-C_{v} = -,T,\frac{\bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\bigr){v}^{2}}{\bigl(\frac{\partial P}{\partial v}\bigr){T}}
= -,T;\frac{\Bigl(\tfrac{R{2}T,[,RT(v-b)+2a,]}{D{2}}\Bigr){2}}{-,\tfrac{R{3}T{3}}{D{2}}},.
C_{p}-C_{v}
= T;\frac{R{4}T{2},[,RT(v-b)+2a,]{2}}{D{4}};\cdot;\frac{D{2}}{R{3}T^{3}}
= R;\frac{[,RT(v-b)+2a,]{2}}{[,RT(v-b)+a,]{2}},. $$
Uma forma ainda mais enxuta usa
e a relação
, chegando a