Utilizando a energia livre de Helmholtz (F) e a energia livre de Gibbs (G), encontre :
(a) (partial Upartial V)T+P=T(partial Ppartial T)V
(b) (partial Hpartial P)T-V=-T(partial Vpartial T)P

Passo 1

Beleza, o exercício quer a gente usar a energia livre de Helmholtz,
F=U-TS,
e a energia livre de Gibbs,
G=H-TS,
pra mostrar duas relações de derivadas parciais:
(a)
(b)
O conteúdo é termodinâmica (funções de estado e relações de Maxwell). A gente vai precisar do diferencial de e , das definições de e , e de usar derivadas cruzadas (relações de Maxwell).

Passo 2

Vamos fazer (a):
  1. A definição dF = dU - T,dS - S,dT = (T,dS - P,dV) - T,dS - S,dT = -P,dV ;-; S,dT dá, usando l(partial Fpartial Tr)V = -S, l(partial Fpartial Vr)T = -P , partialpartial Vl(partial Fpartial Tr)V = partialpartial Tl(partial Fpartial Vr)T Longrightarrow -l(partial Spartial Vr)T = -l(partial Ppartial Tr)V ;Longrightarrow; l(partial Spartial Vr)T = l(partial Ppartial Tr)V Logo l(partial Upartial Vr)T = l(partial Fpartial Vr)T + T,l(partial Spartial Vr)T = -P + T,l(partial Ppartial Tr)V e
  2. A relação de Maxwell vem de trocar a ordem das derivadas mistas em :
  3. Agora , então (mantendo constante) Reorganizando, chega em

Passo 3

Agora (b):
  1. Com dG = dH - T,dS - S,dT = (T,dS + V,dP) - T,dS - S,dT = V,dP ;-; S,dT e l(partial Gpartial Tr)P = -S, l(partial Gpartial Pr)T = V , temos partialpartial Pl(partial Gpartial Tr)P = partialpartial Tl(partial Gpartial Pr)T Longrightarrow -l(partial Spartial Pr)T = l(partial Vpartial Tr)P ;Longrightarrow; l(partial Spartial Pr)T = -l(partial Vpartial Tr)P Então l(partial Hpartial Pr)T = l(partial Gpartial Pr)T + T,l(partial Spartial Pr)T = V ;+; T,l[-l(partial Vpartial Tr)Pr] = V - T,l(partial Vpartial Tr)P e
  2. A relação de Maxwell em :
  3. Como , em fixo: Logo

Resposta

(a)
(b)

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