Encontre uma expressão para a variação da energia interna se P=R T(v-b)-(av^2) e C=A+B T. Simplifique a expressão para um gás ideal com calor específico constante.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar uma expressão geral pra variação da energia interna (ΔU) de um gás que obedece à equação
P=R,Tv-b-av^2
e cujo calor específico molar a volume constante é dado por
Cv = A + B,T,
Depois disso, ainda querem simplificar o resultado para o caso de gás ideal com calor específico constante.
Conteúdo usado: termodinâmica (identidade de energia interna) e cálculo (derivadas e integrais).

Passo 2

Primeiro, a gente lembra da identidade geral da variação infinitesimal da energia interna molar:
dU = Cv,dT + l[Tl(partial P/partial Tr)v - Pr],dv
Isso vem da combinação da primeira lei com propriedades de potencial termodinâmico. Aqui é aquele .

Passo 3

Vamos calcular P=R,Tv-b-av^2,.
Como
l(partial Ppartial Tr)v = Rv-b Longrightarrow Tl(partial Ppartial Tr)v = R,Tv-b,
a única parte que depende de é . Logo

Passo 4

Substituindo em
dU = Cv,dT + l[T(partial P/partial T)v - Pr],dv
a gente tem
dU = (A + B,T),dT + l(R,Tv-b - l[R,Tv-b-av^2r]r),dv = (A + B,T),dT + av^2,dv

Passo 5

Agora é só integrar entre um estado 1 e um estado 2:
De
Calculando cada integral:
integralT1^T2(A+B,T),dT = A,(T2-T1)+tfracB2(T2^2-T1^2),
integralv1^v2av^2,dv = -,al(1v2-1v1r)

Passo 6

Logo, a expressão geral é
boxed De
Agora, para um gás ideal com calor específico constante, a gente faz De, e .
Fica simplesmente
com constante.

Resposta

Deá

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