Considere a função
, onde
é duas vezes diferenciável,
e
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
para a função
onde
é duas vezes diferenciável e foram dadas as informações:
Listando o que temos e o que se pede:
- Dados:
, , . - Função a analisar:
. - Pedido: calcular
(a segunda derivada de avaliada em ).
Passo 2
Primeiro passo técnico: para derivar
é conveniente escrever
como produto de duas funções:
assim
Vou usar a regra do produto para derivadas: se
então
Essa é uma regra básica: a derivada do produto é soma dos produtos onde se deriva uma das partes e a outra fica como está.
Passo 3
Agora preciso das derivadas de
. Usando a regra da cadeia: se
então
. Compondo com
obtemos
Expliquei: derivamos a função quadrado multiplicando por
e depois multiplicamos pela derivada interna
.
Passo 4
Com
e
(sabendo que
) podemos escrever
:
Ou de forma mais limpa,
Passo 5
Agora calculamos
derivando
. Em vez de derivar a expressão inteira de uma vez, é mais organizado usar a regra do produto novamente a partir da forma
. Aplicando a regra do produto duas vezes (ou derivando
termo a termo), obtemos a fórmula conhecida:
Explicação rápida de onde vem: derivando
temos
e
. Somando os dois termos aparece o
.
Passo 6
Precisamos agora de
,
,
e
,
,
avaliados em
.
Já temos:
Calculamos
derivando
. Usamos a regra do produto em
:
Expliquei: ao derivar
temos
.
Para
(função trigonométrica):
Passo 7
Agora avalio tudo em
usando os dados dados no enunciado.
Calculemos
,
,
:
Calculemos
e derivadas em
:
Passo 8
Agora aplicamos a fórmula para
:
Substituindo os valores calculados:
Simplificando:
Resposta
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