Considere a função g(x)=[f(x)]^{2} \cos (x), onde f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é duas vezes diferenciável, f(0)=3 e f^{\prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)=2. Calcule g^{\prime \prime}(0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular g''(0) para a função
g(x) = [f(x)]^{2}\cos(x),
onde f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é duas vezes diferenciável e foram dadas as informações:
f(0)=3,\qquad f'(0)=2,\qquad f''(0)=2.
Listando o que temos e o que se pede:
  • Dados: f(0)=3, f'(0)=2, f''(0)=2.
  • Função a analisar: g(x)=[f(x)]^{2}\cos(x).
  • Pedido: calcular g''(0) (a segunda derivada de g avaliada em 0).

Passo 2

Primeiro passo técnico: para derivar g(x) é conveniente escrever g como produto de duas funções:
u(x) = [f(x)]^{2},\qquad v(x)=\cos(x),
assim
g(x)=u(x)v(x).
Vou usar a regra do produto para derivadas: se g=uv então
g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Essa é uma regra básica: a derivada do produto é soma dos produtos onde se deriva uma das partes e a outra fica como está.

Passo 3

Agora preciso das derivadas de u(x)=[f(x)]^{2}. Usando a regra da cadeia: se h(t)=t^{2} então h'(t)=2t. Compondo com f(x) obtemos
u'(x) = \big([f(x)]^{2}\big)' = 2f(x)\,f'(x).
Expliquei: derivamos a função quadrado multiplicando por 2 e depois multiplicamos pela derivada interna f'(x).

Passo 4

Com u' e v' (sabendo que v'(x)=-\sin(x)) podemos escrever g'(x):
g'(x)=2f(x)f'(x)\cos(x) + [f(x)]^{2}(-\sin(x)).
Ou de forma mais limpa,
g'(x)=2f(x)f'(x)\cos(x) - [f(x)]^{2}\sin(x).

Passo 5

Agora calculamos g''(x) derivando g'(x). Em vez de derivar a expressão inteira de uma vez, é mais organizado usar a regra do produto novamente a partir da forma g=uv. Aplicando a regra do produto duas vezes (ou derivando g' termo a termo), obtemos a fórmula conhecida:
g''(x)=u''(x)v(x) + 2u'(x)v'(x) + u(x)v''(x).
Explicação rápida de onde vem: derivando g'=u'v+uv' temos (u'v)'=u''v+u'v' e (uv')'=u'v'+uv''. Somando os dois termos aparece o 2u'v'.

Passo 6

Precisamos agora de u(x), u'(x), u''(x) e v(x), v'(x), v''(x) avaliados em x=0.
Já temos:
u(x)=[f(x)]^{2},\qquad u'(x)=2f(x)f'(x).
Calculamos u''(x) derivando u'(x)=2f(x)f'(x). Usamos a regra do produto em f\cdot f':
u''(x) = 2\big( f'(x)f'(x) + f(x)f''(x)\big) = 2\big( (f'(x))^{2} + f(x)f''(x)\big).
Expliquei: ao derivar f\cdot f' temos f'' f + f' f'.
Para v (função trigonométrica):
v(x)=\cos(x),\qquad v'(x)=-\sin(x),\qquad v''(x)=-\cos(x).

Passo 7

Agora avalio tudo em x=0 usando os dados dados no enunciado.
Calculemos u(0), u'(0), u''(0):
u(0) = [f(0)]^{2} = 3^{2} = 9.
u'(0) = 2 f(0) f'(0) = 2\cdot 3 \cdot 2 = 12.
u''(0) = 2\big( (f'(0))^{2} + f(0) f''(0)\big) = 2\big( 2^{2} + 3\cdot 2\big) = 2(4+6)=2\cdot 10 = 20.
Calculemos v e derivadas em 0:
v(0)=\cos(0)=1,
v'(0)=-\sin(0)=0,
v''(0)=-\cos(0)=-1.

Passo 8

Agora aplicamos a fórmula para g''(0):
g''(0)=u''(0)v(0) + 2u'(0)v'(0) + u(0)v''(0).
Substituindo os valores calculados:
g''(0)=20\cdot 1 + 2\cdot 12 \cdot 0 + 9\cdot (-1).
Simplificando:
g''(0)=20 + 0 - 9 = 11.

Resposta

11

Exercícios relacionados