Encontre uma expressão para a derivada n-ésima das funções abaixo:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede uma expressão para a derivada
-ésima, ou seja, uma fórmula fechada para
válida para
natural (consideramos
). Informações relevantes: a função está definida quando
, isto é, para
. Não há outras condições ocultas.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada e explicar a regra utilizada. Seja
. A regra da cadeia diz que a derivada de
é
. Aqui
. Portanto,
Explicando devagar: a derivada de
em relação a
é
; como
, multiplicamos por
.
Passo 3
Escrevo
como potência para facilitar as próximas derivadas:
Agora aplico a regra da potência combinada com a regra da cadeia. A regra da potência diz que
. Aqui
,
e
. Então a segunda derivada é
Mostrei passo a passo: peguei o expoente
, multipliquei por ele e por
.
Passo 4
Faço a terceira derivada aplicando a mesma ideia sobre
. Usando a regra da potência com
e
,
Repare no sinal: houve dois sinais negativos multiplicando, resultando em sinal positivo. O fator
apareceu porque
.
Passo 5
Já dá para enxergar o padrão: cada diferenciação traz um fator
(onde
é o expoente atual, começando em
), e um fator
(do
). Assim, para
parece que
Vou explicar por que essa forma faz sentido: no passo de passar de ordem
para
você multiplica pelo expoente atual
e por
; acumulando esses fatores desde
até
aparece
e há um
extra vindo da primeira derivada escrita como
, totalizando
.
Passo 6
Prova por indução (rápida e rigorosa) da fórmula para
.
Base: para
a fórmula dá
que é exatamente
, ok.
Passo indutivo: suponha a fórmula válida para um
:
Derivando ambos os lados para obter
, aplicamos a regra da potência e a cadeia:
Agrupando os fatores:
que é exatamente a fórmula com
substituído por
. Portanto a fórmula vale para todo
.
Passo 7
Resumo prático e observações finais: a fórmula serve para qualquer
. Para
a “derivada de ordem zero” é só a função original
. A fórmula usa somente operações que podemos fazer à mão (fatoriais, potência e sinal alternado), então é fácil aplicar na prova. Lembre-se do domínio
.