Encontre uma expressão para a derivada n-ésima das funções abaixo:
y=\ln (3 x+1).

Passo 1

O enunciado dá a função y=\ln(3x+1) e pede uma expressão para a derivada n-ésima, ou seja, uma fórmula fechada para y^{(n)}(x) válida para n natural (consideramos n\ge 1). Informações relevantes: a função está definida quando 3x+1>0, isto é, para x>-1/3. Não há outras condições ocultas.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada e explicar a regra utilizada. Seja u(x)=3x+1. A regra da cadeia diz que a derivada de \ln(u(x)) é \dfrac{u'(x)}{u(x)}. Aqui u'(x)=3. Portanto,
y'=\frac{3}{3x+1}.
Explicando devagar: a derivada de \ln(t) em relação a t é 1/t; como t=u(x), multiplicamos por u'(x).

Passo 3

Escrevo y' como potência para facilitar as próximas derivadas:
y'=3(3x+1)^{-1}.
Agora aplico a regra da potência combinada com a regra da cadeia. A regra da potência diz que \dfrac{d}{dx}\big(v(x)^m\big)=m\,v(x)^{m-1}v'(x). Aqui v(x)=3x+1, m=-1 e v'(x)=3. Então a segunda derivada é
y''=3\cdot(-1)\cdot3\,(3x+1)^{-2}=-3^{2}(3x+1)^{-2}.
Mostrei passo a passo: peguei o expoente -1, multipliquei por ele e por v'(x)=3.

Passo 4

Faço a terceira derivada aplicando a mesma ideia sobre y''=-3^{2}(3x+1)^{-2}. Usando a regra da potência com m=-2 e v'(x)=3,
y^{(3)}=-3^{2}\cdot(-2)\cdot3\,(3x+1)^{-3}=2!\,3^{3}(3x+1)^{-3}.
Repare no sinal: houve dois sinais negativos multiplicando, resultando em sinal positivo. O fator 2! apareceu porque (-1)\cdot(-2)=2!=2.

Passo 5

Já dá para enxergar o padrão: cada diferenciação traz um fator -k (onde k é o expoente atual, começando em 1), e um fator 3 (do v'(x)). Assim, para n\ge 1 parece que
y^{(n)} = (-1)^{\,n-1}(n-1)!\,3^{n}(3x+1)^{-n}.
Vou explicar por que essa forma faz sentido: no passo de passar de ordem k para k+1 você multiplica pelo expoente atual -k e por 3; acumulando esses fatores desde k=1 até k=n-1 aparece ( -1)^{n-1}(1\cdot 2\cdots (n-1))\,3^{n-1} e há um 3 extra vindo da primeira derivada escrita como 3(3x+1)^{-1}, totalizando 3^n.

Passo 6

Prova por indução (rápida e rigorosa) da fórmula para n\ge 1.
Base: para n=1 a fórmula dá
(-1)^{0}(0)!\,3^{1}(3x+1)^{-1}=\frac{3}{3x+1},
que é exatamente y', ok.
Passo indutivo: suponha a fórmula válida para um n\ge1:
y^{(n)} = (-1)^{n-1}(n-1)!\,3^{n}(3x+1)^{-n}.
Derivando ambos os lados para obter y^{(n+1)}, aplicamos a regra da potência e a cadeia:
y^{(n+1)} = (-1)^{n-1}(n-1)!\,3^{n}\cdot(-n)\cdot3\,(3x+1)^{-n-1}.
Agrupando os fatores:
y^{(n+1)} = (-1)^{n}n!\,3^{n+1}(3x+1)^{-n-1},
que é exatamente a fórmula com n substituído por n+1. Portanto a fórmula vale para todo n\ge1.

Passo 7

Resumo prático e observações finais: a fórmula serve para qualquer n\ge 1. Para n=0 a “derivada de ordem zero” é só a função original y=\ln(3x+1). A fórmula usa somente operações que podemos fazer à mão (fatoriais, potência e sinal alternado), então é fácil aplicar na prova. Lembre-se do domínio x>-1/3.

Resposta

y^{(n)}(x)=(-1)^{\,n-1}(n-1)!\,3^{n}(3x+1)^{-n},\qquad n\ge 1

Exercícios relacionados