Sejam f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função duas vezes diferenciável e g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por g(x)=f(x+2 \cos (3 x)).
(a) Calcule g^{\prime \prime}(x).
(b) Supondo f^{\prime}(2)=1 e f^{\prime \prime}(2)=8, calcule g^{\prime \prime}(0).

Passo 1

O enunciado dá a função g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
g(x)=f\bigl(x+2\cos(3x)\bigr)
e pede duas coisas:
(a) calcular g''(x) (a segunda derivada geral de g);
(b) usando f'(2)=1 e f''(2)=8, calcular g''(0).
Informações relevantes dadas:
  • f é duas vezes diferenciável em \mathbb{R} (portanto f' e f'' existem e são contínuas onde for necessário).
  • g é composta de f com a função h(x)=x+2\cos(3x).
  • Valores numéricos: f'(2)=1 e f''(2)=8.

Passo 2

Primeira coisa prática: é útil definir a função interna
h(x)=x+2\cos(3x),
pois g(x)=f(h(x)). Vou calcular h'(x) passo a passo.
Regra usada: a derivada de \cos(u) em relação a x é -\sin(u)\cdot u' (regra da cadeia). Aqui u=3x, então u'=3.
Derivando termo a termo:
  • a derivada de x é 1,
  • a derivada de 2\cos(3x) é 2\cdot(-\sin(3x))\cdot 3 = -6\sin(3x).
Logo
h'(x)=1-6\sin(3x).

Passo 3

Agora calcule h''(x), ou seja, a derivada de h'(x)=1-6\sin(3x).
Regra usada: a derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u'. Aqui u=3x e u'=3.
Derivando:
h''(x) = -6\cdot \frac{d}{dx}\bigl(\sin(3x)\bigr) = -6\cdot \bigl(3\cos(3x)\bigr) = -18\cos(3x).

Passo 4

Calcule g'(x) usando a regra da cadeia: se g(x)=f(h(x)), então
g'(x)=f'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
Aqui f'\bigl(h(x)\bigr) significa: avalie f' no ponto h(x), e multiplique pelo h'(x) que acabamos de obter.
Portanto
g'(x)=f'\bigl(x+2\cos(3x)\bigr)\cdot\bigl(1-6\sin(3x)\bigr).

Passo 5

Para obter g''(x) derivamos g'(x). Temos um produto entre duas funções de x:
u(x)=f'\bigl(h(x)\bigr)\quad\text{e}\quad v(x)=h'(x).
Regra usada: a derivada do produto é (uv)'=u'v+uv'.
Precisamos de u'(x). Aplicando a regra da cadeia a u(x)=f'(h(x)):
u'(x)=f''\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
Agora aplicando a regra do produto:
g''(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u',u,v,v' obtemos
g''(x)=f''\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x)\cdot h'(x) + f'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h''(x).
Isto pode ser escrito de forma mais compacta como
g''(x)=f''\bigl(h(x)\bigr)\bigl(h'(x)\bigr)^2 + f'\bigl(h(x)\bigr)h''(x).

Passo 6

Substitua as expressões de h(x),h'(x),h''(x) encontradas nos passos anteriores:
h(x)=x+2\cos(3x),\qquad h'(x)=1-6\sin(3x),\qquad h''(x)=-18\cos(3x).
Logo a fórmula final para g''(x) é
g''(x)=f''\bigl(x+2\cos(3x)\bigr)\bigl(1-6\sin(3x)\bigr)^2-18\,f'\bigl(x+2\cos(3x)\bigr)\cos(3x).
Expliquei cada termo: o primeiro termo vem de f''(h(x)) vezes (h'(x))^2 (é o efeito da curvatura de f combinado com a taxa de variação de h), e o segundo termo vem de f'(h(x)) vezes h''(x) (contribuição da concavidade da própria h).

Passo 7

Agora (b): calcular g''(0) usando f'(2)=1 e f''(2)=8.
Primeiro avalie h(0):
h(0)=0+2\cos(0)=2\cdot 1=2.
Avalie também \sin(0)=0 e \cos(0)=1.
Use a fórmula do Passo 6 e substitua x=0:
g''(0)=f''\bigl(2\bigr)\bigl(1-6\cdot 0\bigr)^2 -18\,f'\bigl(2\bigr)\cdot 1.
Isto é
g''(0)=f''(2)\cdot 1 -18\,f'(2).
Agora substitua os valores numéricos dados:
g''(0)=8 -18\cdot 1 = 8-18 = -10.

Resposta

(a) g''(x)=f''\bigl(x+2\cos(3x)\bigr)\bigl(1-6\sin(3x)\bigr)^2-18\,f'\bigl(x+2\cos(3x)\bigr)\cos(3x)
(b) g''(0)=-10

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