Sejam
uma função duas vezes diferenciável e
dada por
.
(a) Calcule
.
(b) Supondo
e
, calcule
.
(a) Calcule
(b) Supondo
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede duas coisas:
(a) calcular (a segunda derivada geral de
);
(b) usando e
, calcular
.
(a) calcular
(b) usando
Informações relevantes dadas:
-
é duas vezes diferenciável em (portanto e existem e são contínuas onde for necessário). -
é composta de com a função . - Valores numéricos:
e .
Passo 2
Primeira coisa prática: é útil definir a função interna
pois
. Vou calcular
passo a passo.
Regra usada: a derivada de
em relação a
é
(regra da cadeia). Aqui
, então
.
Derivando termo a termo:
- a derivada de
é , - a derivada de
é .
Logo
Passo 3
Agora calcule
, ou seja, a derivada de
.
Regra usada: a derivada de
é
. Aqui
e
.
Derivando:
Passo 4
Calcule
usando a regra da cadeia: se
, então
Aqui
significa: avalie
no ponto
, e multiplique pelo
que acabamos de obter.
Portanto
Passo 5
Para obter
derivamos
. Temos um produto entre duas funções de
:
Regra usada: a derivada do produto é
.
Precisamos de
. Aplicando a regra da cadeia a
:
Agora aplicando a regra do produto:
Substituindo
obtemos
Isto pode ser escrito de forma mais compacta como
Passo 6
Substitua as expressões de
encontradas nos passos anteriores:
Logo a fórmula final para
é
Expliquei cada termo: o primeiro termo vem de
vezes
(é o efeito da curvatura de
combinado com a taxa de variação de
), e o segundo termo vem de
vezes
(contribuição da concavidade da própria
).
Passo 7
Agora (b): calcular
usando
e
.
Primeiro avalie
:
Avalie também
e
.
Use a fórmula do Passo 6 e substitua
:
Isto é
Agora substitua os valores numéricos dados:
Resposta
(a)
(b)