Encontre uma expressão para o
-ésimo termo das sequências dadas.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre uma expressão para o
-ésimo termo da sequência”. A sequência fornecida é:
Informações relevantes dadas:
- Os termos, em ordem, são
. - Devemos dar uma fórmula que, para cada
(começando em ), produza o -ésimo termo dessa sequência.
Passo 2
Observar o padrão dos valores absolutos (ou módulos) dos termos:
ou seja
.
Isso é uma progressão aritmética de primeiro termo e razão
. Lembra da fórmula do termo geral de uma progressão aritmética:
Isso é uma progressão aritmética de primeiro termo
onde
é o
-ésimo termo,
é o primeiro termo e
é a razão.
Passo 3
Aplicando a fórmula anterior aos valores absolutos: aqui
e
, então o
-ésimo valor absoluto é
Isso mostra que a magnitude de cada termo é
.
Passo 4
Agora precisamos controlar o sinal: olhando para a sequência vemos que os sinais alternam
. Uma forma padrão de representar alternância de sinais é usar a potência de
:
-
(positivo), -
(negativo), -
, etc.
Para começar com sinal positivo em
usamos
, porque para
temos
, para
temos
, e assim por diante.
Passo 5
Juntando magnitude e sinal, a fórmula candidata para o
-ésimo termo é
Vamos verificar os primeiros termos para ter certeza:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Os resultados coincidem com a sequência dada, portanto a fórmula está correta.
Passo 6
Observações úteis para a prova (dicas rápidas):
- Alternativamente pode-se escrever a mesma fórmula como
é ímpar},\[4pt] -2n, & se
é par. \end{cases}]
Mas a forma com
é compacta e prática em provas.]