Encontre uma expressão para o n-ésimo termo das sequências dadas.
2,-4,6,-8,10, \ldots

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre uma expressão para o n-ésimo termo da sequência”. A sequência fornecida é:
2,-4,6,-8,10,\ldots
Informações relevantes dadas:
  • Os termos, em ordem, são 2,\,-4,\,6,\,-8,\,10,\ldots.
  • Devemos dar uma fórmula que, para cada n\in\mathbb{N} (começando em n=1), produza o n-ésimo termo dessa sequência.

Passo 2

Observar o padrão dos valores absolutos (ou módulos) dos termos: |2|,|{-4}|,|6|,|{-8}|,|10|,\ldots ou seja 2,4,6,8,10,\ldots.
Isso é uma progressão aritmética de primeiro termo 2 e razão 2. Lembra da fórmula do termo geral de uma progressão aritmética:
a_n = a_1 + (n-1)d,
onde a_n é o n-ésimo termo, a_1 é o primeiro termo e d é a razão.

Passo 3

Aplicando a fórmula anterior aos valores absolutos: aqui a_1=2 e d=2, então o n-ésimo valor absoluto é
|a_n| = 2 + (n-1)\cdot 2 = 2n.
Isso mostra que a magnitude de cada termo é 2n.

Passo 4

Agora precisamos controlar o sinal: olhando para a sequência vemos que os sinais alternam +,-,+,-,+,\ldots. Uma forma padrão de representar alternância de sinais é usar a potência de -1:
  • (-1)^0 = 1 (positivo),
  • (-1)^1 = -1 (negativo),
  • (-1)^2 = 1, etc.
Para começar com sinal positivo em n=1 usamos (-1)^{n-1}, porque para n=1 temos (-1)^{0}=1, para n=2 temos (-1)^{1}=-1, e assim por diante.

Passo 5

Juntando magnitude e sinal, a fórmula candidata para o n-ésimo termo é
a_n = 2n\cdot (-1)^{n-1}.
Vamos verificar os primeiros termos para ter certeza:
  • Para n=1: a_1 = 2\cdot 1\cdot(-1)^{0}=2.
  • Para n=2: a_2 = 2\cdot 2\cdot(-1)^{1}=-4.
  • Para n=3: a_3 = 2\cdot 3\cdot(-1)^{2}=6.
  • Para n=4: a_4 = 2\cdot 4\cdot(-1)^{3}=-8.
Os resultados coincidem com a sequência dada, portanto a fórmula está correta.

Passo 6

Observações úteis para a prova (dicas rápidas):
  • Alternativamente pode-se escrever a mesma fórmula como a_n = (-1)^{n+1}\,2n\) (só muda a forma de representar o sinal). - Outra forma equivalente, sem potências, é por caso: \[a_n = \begin{cases} 2n, & \text{se \(n é ímpar},\[4pt] -2n, & se n é par. \end{cases}]
Mas a forma com (-1)^{n-1} é compacta e prática em provas.]

Resposta

a_n = 2n\,(-1)^{\,n-1}

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