Encontre a expressão da função de primeiro grau \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}), satisfazendo as condições dadas. Represente a função graficamente.
f(-5)=-1 e f(2)=4

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre a função linear e pede que se encontre sua expressão e se a represente graficamente. Dados fornecidos:
  • f(-5)=-1.
  • f(2)=4.
O que o enunciado pede:
  • Encontrar a expressão da função de primeiro grau f(x).
  • Representar graficamente essa função (isto é, descrever/mostrar a reta no plano e como traçá‑la).

Passo 2

O que é uma função de primeiro grau e como ela é escrita.
Uma função de primeiro grau (reta) tem a forma geral
f(x)=ax+b,
onde:
  • a é o coeficiente angular (inclinação da reta). Ele diz quanto f(x) varia quando x aumenta de uma unidade.
  • b é o coeficiente linear (intercepto em y), que é o valor de f(x) quando x=0 (ou seja, f(0)=b).
Para determinar a e b precisamos de dois pontos da reta. Cada ponto tem a forma (x,f(x)). Aqui temos os pontos \big(-5,-1\big) e \big(2,4\big).

Passo 3

Como calcular o coeficiente angular a.
A fórmula do coeficiente angular entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Isto vem da definição de "variação de y sobre variação de x" (o famoso “rise over run”).
Aplicando aos pontos \big(-5,-1\big) e \big(2,4\big), tomo (x_1,y_1)=(-5,-1) e (x_2,y_2)=(2,4). Então
a=\frac{4-(-1)}{2-(-5)}=\frac{4+1}{2+5}=\frac{5}{7}.
Portanto o coeficiente angular é a=\dfrac{5}{7}.

Passo 4

Como achar o coeficiente linear b.
Depois de saber a, substitui-se um dos pontos na fórmula \,f(x)=ax+b\, e resolve para b. Vou usar o ponto \big(2,4\big).
Substituindo:
4=\frac{5}{7}\cdot 2 + b.
Calculo o produto:
\frac{5}{7}\cdot 2=\frac{10}{7}.
Então
4=\frac{10}{7}+b \quad\Rightarrow\quad b=4-\frac{10}{7}.
Escrevendo 4 como \dfrac{28}{7} para subtrair frações:
b=\frac{28}{7}-\frac{10}{7}=\frac{18}{7}.
Logo b=\dfrac{18}{7}. (Se usar o outro ponto (-5,-1) dá o mesmo resultado — um bom check.)

Passo 5

Escrever a expressão da função.
Com a=\dfrac{5}{7} e b=\dfrac{18}{7}, a função é
f(x)=\frac{5}{7}x+\frac{18}{7}.

Passo 6

Verificação rápida plugando os dois pontos para confirmar.
  • Para x=-5:
f(-5)=\frac{5}{7}\cdot(-5)+\frac{18}{7}=-\frac{25}{7}+\frac{18}{7}=-\frac{7}{7}=-1,
confere com f(-5)=-1.
  • Para x=2:
f(2)=\frac{5}{7}\cdot 2+\frac{18}{7}=\frac{10}{7}+\frac{18}{7}=\frac{28}{7}=4,
confere com f(2)=4.

Passo 7

Informações úteis para desenhar o gráfico (como traçar a reta no papel, sem calculadora).
  • Dois pontos conhecidos para plotar: \big(-5,-1\big) e \big(2,4\big). Marque esses pontos no plano cartesiano e trace a reta que os liga — essa é a reta da função.
  • Intercepto em y (valor onde a reta cruza o eixo y): f(0)=b=\dfrac{18}{7}\approx 2,5714. Assim a reta cruza o eixo y em \left(0,\dfrac{18}{7}\right).
  • Intercepto em x (valor onde f(x)=0): resolver 0=\dfrac{5}{7}x+\dfrac{18}{7}
x=-\frac{18}{5}=-3{,}6.
Portanto a reta cruza o eixo x em \left(-\dfrac{18}{5},0\right).
Com esses pontos (dois dados mais os interceptos) já dá para desenhar a reta com boa precisão.

Passo 8

Sugestão prática de desenho passo a passo (para a prova, sem calculadora):
  1. Desenhe e rotule eixos x e y.
  2. Marque o ponto x=-5 no eixo x e suba/baixe até y=-1 para marcar (-5,-1).
  3. Marque o ponto x=2 e suba até y=4 para marcar (2,4).
  4. Trace a reta que passa por esses dois pontos; estenda para cruzar os eixos: verá que corta o eixo y em cerca de 2{,}57 e o eixo x em -3{,}6.

Resposta

f(x)=\dfrac{5}{7}x+\dfrac{18}{7}
Gráfico: reta que passa pelos pontos \big(-5,-1\big) e \big(2,4\big), cruza o eixo y em \left(0,\dfrac{18}{7}\right) e o eixo x em \left(-\dfrac{18}{5},0\right).

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