Encontre a expressão geral das séries de potencia a seguir e determine o intervalo (se houver) no quais os valores de x convergem, diverge, não esqueça de estudar os extremos do intervalo.
1+(x-2)+2(x-5)^2+6(x-5)^3+24(x-5)^4+cdots

Passo 1

A série dada é uma série de potências em torno de x=5 (apesar de o segundo termo vir escrito como (x-2), notamos que os demais termos usam (x-5), então assumimos que houve um erro de digitação e o padrão é (x-5)). Para resolver vamos identificar o padrão dos coeficientes e usar o teste da razão para convergência.

Passo 2

Observando 1, 1, 2, 6, 24, … vemos que esses números são 0!, 1!, 2!, 3!, 4! respectivamente. Isso sugere que o coeficiente geral a_n = n! e o termo geral é n!(x-5)^n.
Portanto a expressão geral da série é
sumn=0^infty n!,(x-5)^n

Passo 3

Para estudar o intervalo de convergência aplicamos o teste da razão. Seja a_n = n! (x-5)^n. Então
L = limntoinfty |an+1an| = limntoinfty(n+1),|x-5| = 0, &se |x-5|=0,+infty,&se |x-5|>0
Para convergir precisamos de L<1, o que ocorre só quando |x-5|=0.

Passo 4

No ponto x=5 a série reduz-se a 0! = 1, logo converge trivialmente. Para qualquer outro x temos |x-5|>0 e L=+∞>1, então diverge.
Assim o raio de convergência é R=0 e o único ponto de convergência é x=5.

Resposta

Expressão geral: sumn=0^infty n!,(x-5)^n
O raio de convergência é R=0, ou seja, a série converge apenas em x=5 (valendo 1) e diverge para todo x\neq5.

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