Use o teste da razão para verificar se as series convergem absolutamente ou diverge
sumn=1^infty (-1)^n(1+e^n)2^n

Passo 1

Resumo: Temos a série sumn=1^infty(-1)^n1+e^n2^n. O conteúdo é o Teste da Razão aplicado à série de valores absolutos para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Definimos a sequência dos valores absolutos: bn=l|(-1)^n1+e^n2^nr|=1+e^n2^n. Vamos aplicar o Teste da Razão em bn.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
bn+1bn=1+e^n+12^n+11+e^n2^n=1+e^n+12,(1+e^n)

Passo 4

Tomando o limite quando ntoinfty:
L=limntoinfty1+e^n+12,(1+e^n)=limntoinftye^n+1(1+e^-(n+1))2e^n(1+e^-n)= e2>1

Passo 5

Conclusão do teste: Como L>1, a série sum bn diverge, ou seja, a série original não converge absolutamente.
Verificação adicional: os termos an=(-1)^n(1+e^n)/2^n não tendem a zero (porque |an|sim(e/2)^n cresce). Logo, a série original diverge.

Resposta

O limite do Teste da Razão é e/2>1, logo não há convergência absoluta e, como os termos não tendem a zero, a série diverge.

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