Nas séries abaixo determine se cada série diverge, converge condicionalmente ou é absolutamente convergente. Use qualquer teste ou teorema que achar conveniente para justificar sua resposta.
sumn=1^infty n^nn!

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^infty n^nn! diverge, converge condicionalmente ou é absolutamente convergente; vamos usar o teste da razão, que é ideal para séries com fatoriais e potências.

Passo 2

Definimos an = n^nn!. Aplicamos o teste da razão, calculando
L = limntoinfty an+1an
Temos
an+1an = (n+1)^n+1/(n+1)!n^n/n! = (n+1)^n+1(n+1),n^n = l(1 + 1nr)^n
Como limntoinfty (1 + 1/n)^n = e > 1, o valor limite do teste da razão é maior que 1.

Passo 3

Pelo teste da razão, se L>1 a série de termos positivos diverge. Logo essa série não converge nem condicionalmente nem absolutamente — ela diverge.

Resposta

A série diverge.

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