Conclua sobre a convergência da sequencia
nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência da sequência
quando
. O conteúdo envolvido é o de sequências geométricas e limites, e vamos precisar usar que, se
, então
e o Teorema do Confronto para passar do módulo ao valor da sequência.
Passo 2
Como
, definimos
com
. Sabemos que a sequência geométrica
converge a zero, isto é, dado
existe
tal que
para todo
. Portanto,
Passo 3
- temos
.
Passo 4
Observe que para todo
vale a desigualdade
Pelo Teorema do Confronto segue que
Note que, se
, os termos alternam de sinal, mas isso não impede a convergência ao mesmo limite, pois o módulo tende a zero.
Resposta
A sequência
converge para zero, isto é,
quando
.