Conclua sobre a convergência da sequencia a^n nos seguintes casos:
-1

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da sequência a^n quando -1 < a < 1. O conteúdo envolvido é o de sequências geométricas e limites, e vamos precisar usar que, se |a|<1, então limntoinfty|a|^n=0 e o Teorema do Confronto para passar do módulo ao valor da sequência.

Passo 2

Como |a|<1, definimos q=|a| com 0<= q<1. Sabemos que a sequência geométrica q^n converge a zero, isto é, dado varepsilon>0 existe N tal que q^n para todo n>= N. Portanto,

Passo 3

  • temos limntoinfty|a|^n=0.

Passo 4

Observe que para todo n vale a desigualdade
-|a|^n <= a^n <= |a|^n
Pelo Teorema do Confronto segue que
limntoinftya^n = 0
Note que, se a<0, os termos alternam de sinal, mas isso não impede a convergência ao mesmo limite, pois o módulo tende a zero.

Resposta

A sequência a^n converge para zero, isto é, limntoinftya^n=0 quando -1.

Exercícios relacionados