Encontre uma expressão para o n-ésimo termo das sequências dadas.
1,4,7,10, \ldots

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre uma expressão para o n-ésimo termo da sequência dada.” A sequência fornecida é:
1,4,7,10,\ldots
Informações relevantes dadas:
  • O primeiro termo é 1.
  • Os termos seguintes são 4, 7, 10.
  • O objetivo é achar uma fórmula que, para cada inteiro positivo n, dê o n-ésimo termo a_n da sequência.

Passo 2

Vamos definir as incógnitas e o que queremos exatamente:
  • Seja a_n o n-ésimo termo da sequência, com n\in\mathbb{N} e n\ge 1.
  • Queremos uma expressão fechada (uma fórmula) que permita calcular a_n sem precisar escrever todos os termos anteriores.

Passo 3

Observe as diferenças entre termos consecutivos (faça isso na prova, é rápido e decisivo):
4-1=3,\qquad 7-4=3,\qquad 10-7=3.
As diferenças são todas iguais a 3. Quando uma sequência tem diferença constante entre termos consecutivos, ela é uma progressão aritmética (PA). Numa PA:
  • O primeiro termo é a_1.
  • A razão (diferença comum) é d.
  • Cada termo é obtido somando d ao anterior.

Passo 4

A fórmula geral de uma progressão aritmética é explicada assim (mastigando):
  • a_1 é o primeiro termo.
  • a_2 = a_1 + d.
  • a_3 = a_1 + 2d.
  • Em geral, para n\ge 1:
a_n = a_1 + (n-1)\,d.
Raciocínio: para ir de a_1 até a_n adiciona-se d exatamente (n-1) vezes.

Passo 5

Agora identificamos a_1 e d para a sequência dada:
  • a_1 = 1 (peguei do enunciado).
  • d = 3 (peguei das diferenças calculadas no Passo 3).
Substituindo na fórmula da PA:
a_n = 1 + (n-1)\cdot 3.
Efetuando a multiplicação e simplificando:
a_n = 1 + 3n - 3 = 3n - 2.

Passo 6

Vamos conferir com os primeiros valores para ter certeza (sempre bom fazer na prova):
  • Para n=1: a_1 = 3\cdot 1 - 2 = 1 (confere).
  • Para n=2: a_2 = 3\cdot 2 - 2 = 4 (confere).
  • Para n=3: a_3 = 3\cdot 3 - 2 = 7 (confere).
  • Para n=4: a_4 = 3\cdot 4 - 2 = 10 (confere).
Dica prática para a prova: se os termos formam uma sequência linear em n (diferença constante), a fórmula será do tipo a_n = pn+q. Determine p pela diferença comum e encontre q usando um dos termos.

Passo 7

Observação útil extra (para quando a prova pedir o índice dado o termo): se a_n = 3n-2 e quiser achar n sabendo a_n, resolva:
3n-2 = a_n \quad\Rightarrow\quad n = \frac{a_n+2}{3},
e verifique que o resultado é inteiro e positivo.

Resposta

\displaystyle a_n = 3n - 2

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