Encontre uma expressão para o
-ésimo termo das sequências dadas.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre uma expressão para o
-ésimo termo da sequência dada.” A sequência fornecida é:
Informações relevantes dadas:
- O primeiro termo é
. - Os termos seguintes são
, , . - O objetivo é achar uma fórmula que, para cada inteiro positivo
, dê o -ésimo termo da sequência.
Passo 2
Vamos definir as incógnitas e o que queremos exatamente:
- Seja
o -ésimo termo da sequência, com e . - Queremos uma expressão fechada (uma fórmula) que permita calcular
sem precisar escrever todos os termos anteriores.
Passo 3
Observe as diferenças entre termos consecutivos (faça isso na prova, é rápido e decisivo):
As diferenças são todas iguais a
. Quando uma sequência tem diferença constante entre termos consecutivos, ela é uma progressão aritmética (PA). Numa PA:
- O primeiro termo é
. - A razão (diferença comum) é
. - Cada termo é obtido somando
ao anterior.
Passo 4
A fórmula geral de uma progressão aritmética é explicada assim (mastigando):
-
é o primeiro termo. -
. -
. - Em geral, para
:
Raciocínio: para ir de
até
adiciona-se
exatamente
vezes.
Passo 5
Agora identificamos
e
para a sequência dada:
-
(peguei do enunciado). -
(peguei das diferenças calculadas no Passo 3).
Substituindo na fórmula da PA:
Efetuando a multiplicação e simplificando:
Passo 6
Vamos conferir com os primeiros valores para ter certeza (sempre bom fazer na prova):
- Para
: (confere). - Para
: (confere). - Para
: (confere). - Para
: (confere).
Dica prática para a prova: se os termos formam uma sequência linear em
(diferença constante), a fórmula será do tipo
. Determine
pela diferença comum e encontre
usando um dos termos.
Passo 7
Observação útil extra (para quando a prova pedir o índice dado o termo): se
e quiser achar
sabendo
, resolva:
e verifique que o resultado é inteiro e positivo.