Encontre uma expressão para o n-ésimo termo das sequências dadas.
3,7,11,15, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência 3,7,11,15,\ldots e pede uma expressão que permita calcular o n-ésimo termo dessa sequência para qualquer n.
Informações relevantes fornecidas:
  • Primeiro termo: 3 (é o termo correspondente a n=1).
  • A sequência continua com os termos mostrados.

Passo 2

Vamos olhar as diferenças entre termos consecutivos para detectar um padrão (peguei esses números do enunciado):
7-3=4,\qquad 11-7=4,\qquad 15-11=4.
Todas as diferenças são iguais a 4. Isso nos diz que a sequência adiciona sempre o mesmo valor entre um termo e o próximo.

Passo 3

Quando a diferença entre termos consecutivos é constante, a sequência é uma progressão aritmética. A definição e a fórmula básica são:
  • Definição: uma progressão aritmética é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante d (chamada de razão) ao termo anterior.
  • Fórmula para o n-ésimo termo: a_n = a_1 + (n-1)d,
onde:
  • a_n é o n-ésimo termo (o que queremos achar),
  • a_1 é o primeiro termo da sequência,
  • d é a razão (diferença constante),
  • n é um inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots).
    Explicação por que a fórmula funciona: do primeiro para o segundo termo soma-se d uma vez, para o terceiro soma-se d duas vezes, e assim por diante; para o n-ésimo soma-se d exatamente n-1 vezes.

Passo 4

Substituímos na fórmula os valores que identificamos na sequência (peguei a_1 do primeiro termo dado e d das diferenças calculadas):
a_1 = 3,\qquad d = 4.
Logo
a_n = 3 + (n-1)\cdot 4.

Passo 5

Vamos verificar que a expressão obtida realmente gera os termos dados (faça estas contas na prova para conferir):
  • Para n=1: a_1 = 3 + (1-1)\cdot 4 = 3 + 0 = 3. Confere com o primeiro termo.
  • Para n=2: a_2 = 3 + (2-1)\cdot 4 = 3 + 4 = 7. Confere.
  • Para n=3: a_3 = 3 + (3-1)\cdot 4 = 3 + 8 = 11. Confere.
  • Para n=4: a_4 = 3 + (4-1)\cdot 4 = 3 + 12 = 15. Confere.

Passo 6

Dica prática para a prova: memorize a forma a_n = a_1 + (n-1)d. Ao ver uma sequência, calcule as diferenças entre termos consecutivos; se todas forem iguais, use essa fórmula. Aqui é só substituir e calcular.

Resposta

4n-1

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