Encontre uma expressão para o
-ésimo termo das sequências dadas.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede uma expressão que permita calcular o
-ésimo termo dessa sequência para qualquer
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Primeiro termo:
(é o termo correspondente a ). - A sequência continua com os termos mostrados.
Passo 2
Vamos olhar as diferenças entre termos consecutivos para detectar um padrão (peguei esses números do enunciado):
Todas as diferenças são iguais a
. Isso nos diz que a sequência adiciona sempre o mesmo valor entre um termo e o próximo.
Passo 3
Quando a diferença entre termos consecutivos é constante, a sequência é uma progressão aritmética. A definição e a fórmula básica são:
- Definição: uma progressão aritmética é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante
(chamada de razão) ao termo anterior. - Fórmula para o
-ésimo termo:
onde:
-
é o -ésimo termo (o que queremos achar), -
é o primeiro termo da sequência, -
é a razão (diferença constante), -
é um inteiro positivo ( ).
Explicação por que a fórmula funciona: do primeiro para o segundo termo soma-seuma vez, para o terceiro soma-se duas vezes, e assim por diante; para o -ésimo soma-se exatamente vezes.
Passo 4
Substituímos na fórmula os valores que identificamos na sequência (peguei
do primeiro termo dado e
das diferenças calculadas):
Logo
Passo 5
Vamos verificar que a expressão obtida realmente gera os termos dados (faça estas contas na prova para conferir):
- Para
: . Confere com o primeiro termo. - Para
: . Confere. - Para
: . Confere. - Para
: . Confere.
Passo 6
Dica prática para a prova: memorize a forma
. Ao ver uma sequência, calcule as diferenças entre termos consecutivos; se todas forem iguais, use essa fórmula. Aqui é só substituir e calcular.