Encontre uma expressão para o n-ésimo termo das sequências dadas.
\frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{2}{3 \cdot 4}, \frac{3}{4 \cdot 5}, \frac{4}{5 \cdot 6}, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termos
\dfrac{1}{2\cdot3},\; \dfrac{2}{3\cdot4},\; \dfrac{3}{4\cdot5},\; \dfrac{4}{5\cdot6},\ldots
e pede uma expressão para o n-ésimo termo (ou seja, uma fórmula que gere o termo geral da sequência quando eu der n).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os numeradores, em ordem, são 1,2,3,4,\ldots.
  • Os denominadores são produtos de dois inteiros consecutivos: 2\cdot3,\;3\cdot4,\;4\cdot5,\;5\cdot6,\ldots.
  • O índice natural mais conveniente para começar é n=1 associado ao primeiro termo.

Passo 2

Identificar o padrão e propor uma fórmula candidata.
Observando os numeradores e denominadores:
  • O primeiro numerador é 1, o segundo é 2, o terceiro é 3. Então o numerador do n-ésimo termo parece ser n.
  • O primeiro denominador é 2\cdot3. Note que esses fatores são 1+1 e 1+2. Para o segundo denominador 3\cdot4 os fatores são 2+1 e 2+2. Em geral, para o termo cujo numerador é n os fatores do denominador são n+1 e n+2.
Portanto uma fórmula natural candidata para o n-ésimo termo é
a_n=\frac{n}{(n+1)(n+2)}.

Passo 3

Verificar a fórmula candidatada substituindo valores de n (checagem direta).
  • Para n=1:
a_1=\frac{1}{(1+1)(1+2)}=\frac{1}{2\cdot3},
que coincide com o primeiro termo dado.
  • Para n=2:
a_2=\frac{2}{(2+1)(2+2)}=\frac{2}{3\cdot4},
coincide com o segundo termo.
  • Para n=3:
a_3=\frac{3}{(3+1)(3+2)}=\frac{3}{4\cdot5},
coincide com o terceiro termo.
Como a fórmula produz exatamente os primeiros termos e segue o padrão observado, ela é a expressão correta para o termo geral.

Passo 4

Explicação didática sobre como chegar nisso em prova (passo a passo prático).
  1. Olhe os numeradores separadamente: normalmente, se seguem 1,2,3,\ldots\), então tente \(n\) no numerador. 2. Olhe os fatores do denominador: se são pares de inteiros consecutivos, tente expressá‑los como \(n+1\) e \(n+2\) quando o numerador for \(n\). 3. Monte a expressão e teste para \(n=1,2,3\) para confirmar. 4. Se quiser uma forma alternativa útil para manipulações (ex.: soma telescópica), faça decomposição em frações parciais. Para a nossa expressão: \[\frac{n}{(n+1)(n+2)}=\frac{A}{n+1}+\frac{B}{n+2}.
Resolvendo para A e B (colocando numeradores iguais):
n=A(n+2)+B(n+1)=(A+B)n+(2A+B).
Comparando coeficientes obtém-se o sistema
\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] 2A+B=0, \end{cases}
cuja solução é A=-1\] e \(B=2. Logo
\frac{n}{(n+1)(n+2)}=-\frac{1}{n+1}+\frac{2}{n+2}.
Essa forma às vezes facilita somas ou simplificações.]

Resposta

\displaystyle a_n=\frac{n}{(n+1)(n+2)}

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