Encontre uma expressão para o
-ésimo termo das sequências dadas.
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termos
e pede uma expressão para o -ésimo termo (ou seja, uma fórmula que gere o termo geral da sequência quando eu der
).
e pede uma expressão para o
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os numeradores, em ordem, são
. - Os denominadores são produtos de dois inteiros consecutivos:
. - O índice natural mais conveniente para começar é
associado ao primeiro termo.
Passo 2
Identificar o padrão e propor uma fórmula candidata.
Observando os numeradores e denominadores:
- O primeiro numerador é
, o segundo é , o terceiro é . Então o numerador do -ésimo termo parece ser . - O primeiro denominador é
. Note que esses fatores são e . Para o segundo denominador os fatores são e . Em geral, para o termo cujo numerador é os fatores do denominador são e .
Portanto uma fórmula natural candidata para o
-ésimo termo é
Passo 3
Verificar a fórmula candidatada substituindo valores de
(checagem direta).
- Para
:
que coincide com o primeiro termo dado.
- Para
:
coincide com o segundo termo.
- Para
:
coincide com o terceiro termo.
Como a fórmula produz exatamente os primeiros termos e segue o padrão observado, ela é a expressão correta para o termo geral.
Passo 4
Explicação didática sobre como chegar nisso em prova (passo a passo prático).
- Olhe os numeradores separadamente: normalmente, se seguem
Resolvendo para
e
(colocando numeradores iguais):
Comparando coeficientes obtém-se o sistema
cuja solução é
. Logo
Essa forma às vezes facilita somas ou simplificações.]