Encontre uma expressão para o
-ésimo termo das sequências dadas.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede.
- A sequência fornecida é
- O enunciado pede uma expressão para o
-ésimo termo dessa sequência, adotando a convenção natural de que o primeiro termo corresponde a . Ou seja,
, , , e assim por diante.
Passo 2
Escrever o padrão com notação de produto.
- Observe que o denominador do
-ésimo termo é o produto dos primeiros números ímpares. Para gerar os números ímpares usamos a fórmula geral com . - Assim, uma escrita direta é
- Explicando: o símbolo
significa multiplicar todos os termos para indo de até . Para isso dá , que confere com o primeiro termo.
Passo 3
Introduzir a notação de duplo fatorial para pares/ímpares e simplificar.
- O duplo fatorial para ímpares é definido por
ou seja, o produto dos primeiros
ímpares.
- No nosso caso temos
, portanto o denominador é . - Logo uma forma compacta da sequência é
- Exemplos rápidos para fixar:
, , .
Passo 4
Expressar o duplo fatorial em termos de fatorial simples (forma alternativa útil em provas).
- Vamos relacionar
com o fatorial usual. Comece escrevendo como produto de ímpares vezes produto de pares:
- O primeiro fator é
. No segundo fator cada termo é vezes um número de a , logo
- Portanto
- Isolando
obtemos a identidade útil
- Substituindo na expressão de
vem
- Esta forma é prática se precisar comparar com combinações ou expandir em séries que usam factorials comuns.
Passo 5
Verificação com os primeiros termos para ganhar confiança.
- Para
as duas formas dão
- Para
- Esses cálculos batem com a sequência dada, então a expressão está correta.
Passo 6
Observações finais e dica de prova rápida.
- Em provas, escrever
já é aceitável e direto. - Se quiser uma forma que use apenas fatoriais simples (mais padrão em argumentos algébricos), use
. - Respire fundo: o padrão é sempre “produto dos ímpares”, e transformar para duplo fatorial ou fatoriais é só uma manobra algébrica mecânica.