Encontre uma expressão para o n-ésimo termo das sequências dadas.
\frac{1}{1 \cdot 3}, \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5}, \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}, \cdots

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede.
  • A sequência fornecida é
    \displaystyle \frac{1}{1\cdot 3},\\ \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5},\\ \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7},\\ \ldots
  • O enunciado pede uma expressão para o n-ésimo termo dessa sequência, adotando a convenção natural de que o primeiro termo corresponde a n=1. Ou seja,
    \displaystyle a_1=\frac{1}{1\cdot 3}, \displaystyle a_2=\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5}, \displaystyle a_3=\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}, e assim por diante.

Passo 2

Escrever o padrão com notação de produto.
  • Observe que o denominador do n-ésimo termo é o produto dos primeiros n+1 números ímpares. Para gerar os números ímpares usamos a fórmula geral \,2k-1 com k=1,2,\dots.
  • Assim, uma escrita direta é
a_n=\frac{1}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n+1}(2k-1)}.
  • Explicando: o símbolo \displaystyle\prod_{k=1}^{n+1} significa multiplicar todos os termos (2k-1) para k indo de 1 até n+1. Para n=1 isso dá (2\cdot1-1)(2\cdot2-1)=1\cdot 3, que confere com o primeiro termo.

Passo 3

Introduzir a notação de duplo fatorial para pares/ímpares e simplificar.
  • O duplo fatorial para ímpares é definido por
(2m-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots(2m-1),
ou seja, o produto dos primeiros m ímpares.
  • No nosso caso temos m=n+1, portanto o denominador é (2(n+1)-1)!!=(2n+1)!!.
  • Logo uma forma compacta da sequência é
a_n=\frac{1}{(2n+1)!!}.
  • Exemplos rápidos para fixar: (3)!!=1\cdot 3=3, (5)!!=1\cdot 3\cdot 5=15, (7)!!=105.

Passo 4

Expressar o duplo fatorial em termos de fatorial simples (forma alternativa útil em provas).
  • Vamos relacionar (2n+1)!! com o fatorial usual. Comece escrevendo (2n+1)! como produto de ímpares vezes produto de pares:
(2n+1)! = \big(1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n+1)\big)\cdot\big(2\cdot 4\cdot 6\cdots 2n\big).
  • O primeiro fator é (2n+1)!!. No segundo fator cada termo é 2 vezes um número de 1 a n, logo
2\cdot 4\cdot 6\cdots 2n = 2^n\cdot n!.
  • Portanto
(2n+1)! = (2n+1)!!\cdot 2^n n!.
  • Isolando (2n+1)!! obtemos a identidade útil
(2n+1)!!=\frac{(2n+1)!}{2^n n!}.
  • Substituindo na expressão de a_n vem
a_n=\frac{1}{(2n+1)!!}=\frac{2^n n!}{(2n+1)!}.
  • Esta forma é prática se precisar comparar com combinações ou expandir em séries que usam factorials comuns.

Passo 5

Verificação com os primeiros termos para ganhar confiança.
  • Para n=1 as duas formas dão
a_1=\frac{1}{(2\cdot1+1)!!}=\frac{1}{3!!}=\frac{1}{3} \qquad\text{e}\qquad a_1=\frac{2^1 1!}{3!}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
  • Para n=2
a_2=\frac{1}{5!!}=\frac{1}{15} \qquad\text{e}\qquad a_2=\frac{2^2 2!}{5!}=\frac{4\cdot 2}{120}=\frac{8}{120}=\frac{1}{15}.
  • Esses cálculos batem com a sequência dada, então a expressão está correta.

Passo 6

Observações finais e dica de prova rápida.
  • Em provas, escrever a_n=\dfrac{1}{\prod_{k=1}^{n+1}(2k-1)} já é aceitável e direto.
  • Se quiser uma forma que use apenas fatoriais simples (mais padrão em argumentos algébricos), use a_n=\dfrac{2^n n!}{(2n+1)!}.
  • Respire fundo: o padrão é sempre “produto dos ímpares”, e transformar para duplo fatorial ou fatoriais é só uma manobra algébrica mecânica.

Resposta

\displaystyle a_n=\frac{1}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n+1}(2k-1)}
\displaystyle a_n=\frac{1}{(2n+1)!!}
\displaystyle a_n=\frac{2^n\,n!}{(2n+1)!}

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