Encontre a expressão da transformação que rotaciona um vetor
de um ângulo de
, em torno da origem, no sentido horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a expressão da transformação que rotaciona um vetor $ v \in \mathbb{R}^{2} $ em
no sentido horário em torno da origem. O conteúdo que vamos usar aqui é álgebra linear, mais especificamente matrizes de rotação. Para resolver isso, vamos precisar entender como as matrizes podem representar rotações no plano.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que uma rotação no plano pode ser representada por uma matriz $ R(\theta) $, onde $ \theta $ é o ângulo de rotação. A forma geral dessa matriz é:
Aqui, o ângulo $ \theta $ é positivo se a rotação for no sentido anti-horário e negativo se for no sentido horário.
Passo 3
No nosso caso, queremos rotacionar no sentido horário
. Então, $ \theta = -90^{\circ} $. Vamos converter esse ângulo para radianos, já que as funções trigonométricas geralmente usam radianos. Sabemos que $ 90^{\circ} = \frac{\pi}{2} $ radianos, então $ \theta = -\frac{\pi}{2} $.
Passo 4
Agora, vamos calcular os valores do cosseno e seno desse ângulo:
Passo 5
Substituindo esses valores na matriz de rotação geral, temos:
Resposta
A expressão da transformação que rotaciona um vetor $ v \in \mathbb{R}^{2} $
no sentido horário em torno da origem é: