integral d x(a+b x)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral dx(a + b x)^3. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração por substituição. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão usando uma substituição que torne a integral mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável $ u $ como:
u
Essa substituição é útil porque o denominador da fração dentro da integral fica simplesmente $ u^3 $, o que facilita a integração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial de $ u $ em termos de $ dx $. Derivando $ u = a + b x $ em relação a $ x $, temos:
u
Isso nos permite substituir $ dx $ na integral original.

Passo 4

Substituindo $ u $ e $ dx $ na integral, temos:
u
Agora, a integral ficou em termos de $ u $, o que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Vamos integrar $ u^{-3} $ em relação a $ u $. A integral de $ u^n $ é $ \frac{u^{n+1}}{n+1} + C $, desde que $ n \neq -1 $. Aqui, $ n = -3 $, então:
u^-3

Passo 6

Agora, multiplicamos pelo fator que tiramos anteriormente ($ \frac{1}{b} $):
1b
Lembrando que $ u = a + b x $, substituímos de volta.

Passo 7

Substituindo $ u $ pela expressão original:
u

Resposta

A integral integral dx(a + b x)^3 é igual a:
-12 b (a + b x)^2 + C

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