Prove, usando os teoremas integrais, a primeira e segunda identidades de Green, quais sejam
(i)
;
(ii)
.
Notem que
é a derivada direcional de
na direção do vetor normal
.
(i)
(ii)
Notem que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que provar duas identidades conhecidas como Primeira e Segunda Identidade de Green. Essas identidades são importantes no cálculo vetorial e nas equações diferenciais, e elas ligam integrais sobre um volume com integrais sobre a superfície que delimita esse volume.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green e outros teoremas integrais como o Teorema de Gauss (ou Divergência) e o Teorema de Stokes. Basicamente, esses teoremas nos ajudam a transformar integrais complexas em formas mais manejáveis, relacionando integrais de volume com integrais de superfície.
Passo 2
Vamos começar com a Primeira Identidade de Green, que é dada por:
Aqui, $ V $ é o volume, $ S $ é a superfície que delimita $ V $, $ \psi $ e $ \phi $ são funções suaves, e $ \frac{\partial \phi}{\partial n} $ é a derivada direcional de $ \phi $ na direção do vetor normal $ \hat{\mathbf{n}} $.
Passo 3
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência), que diz que para qualquer campo vetorial $ \mathbf{F} $:
Vamos tentar manipular a integral da Primeira Identidade de Green para colocá-la na forma do Teorema de Gauss.
Passo 4
Observando a expressão:
Sabemos que $ \nabla^{2} \phi $ é o laplaciano de $ \phi $, que é a divergência do gradiente de $ \phi $:
Então, podemos reescrever a expressão dentro da integral como:
Passo 5
Agora, vamos usar a Regra do Produto para vetores, que nos diz que:
Comparando com o que temos dentro da integral, vemos que:
Passo 6
Substituindo isso de volta na integral original:
Aqui, usamos o Teorema de Gauss para transformar a integral de volume da divergência em uma integral de superfície.
Passo 7
Reconhecendo que $ \nabla \phi \cdot \hat{\mathbf{n}} $ é exatamente a derivada direcional de $ \phi $ na direção normal, ou seja, $ \frac{\partial \phi}{\partial n} $, tenho:
Portanto, chegamos à Primeira Identidade de Green:
Passo 8
Agora, vamos para a Segunda Identidade de Green:
Para provar isso, vamos usar a Primeira Identidade de Green que já demonstramos.
Passo 9
Usando a Primeira Identidade de Green, temos duas expressões:
- Para $ \psi $ e $ \phi $:
- Para $ \phi $ e $ \psi $:
Passo 10
Agora, vamos subtrair a segunda equação da primeira:
Note que os termos $ \nabla \psi \cdot \nabla \phi $ se cancelam:
Isso é exatamente a Segunda Identidade de Green que queríamos provar!
Resposta
Provar as Primeira e Segunda Identidades de Green utilizando os teoremas integrais foi concluído com sucesso, demonstrando que:
e