Prove, usando os teoremas integrais, a primeira e segunda identidades de Green, quais sejam
(i) integralV(psi nabla^2 phi+nabla psi cdot nabla phi) d V=ointS=partial V psi partial phipartial n d S;
(ii) integralV(psi nabla^2 phi-phi nabla^2 psi) d V=ointS=partial V(psi partial phipartial n-phi partial psipartial n) d S.
Notem que partial phipartial n é a derivada direcional de phi na direção do vetor normal n.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que provar duas identidades conhecidas como Primeira e Segunda Identidade de Green. Essas identidades são importantes no cálculo vetorial e nas equações diferenciais, e elas ligam integrais sobre um volume com integrais sobre a superfície que delimita esse volume.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green e outros teoremas integrais como o Teorema de Gauss (ou Divergência) e o Teorema de Stokes. Basicamente, esses teoremas nos ajudam a transformar integrais complexas em formas mais manejáveis, relacionando integrais de volume com integrais de superfície.

Passo 2

Vamos começar com a Primeira Identidade de Green, que é dada por:
integralV(psi nabla^2 phi + nabla psi cdot nabla phi) dV = ointS=partial V psi partial phipartial n dS
Aqui, $ V $ é o volume, $ S $ é a superfície que delimita $ V $, $ \psi $ e $ \phi $ são funções suaves, e $ \frac{\partial \phi}{\partial n} $ é a derivada direcional de $ \phi $ na direção do vetor normal $ \hat{\mathbf{n}} $.

Passo 3

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência), que diz que para qualquer campo vetorial $ \mathbf{F} $:
F
Vamos tentar manipular a integral da Primeira Identidade de Green para colocá-la na forma do Teorema de Gauss.

Passo 4

Observando a expressão:
psi nabla^2 phi + nabla psi cdot nabla phi
Sabemos que $ \nabla^{2} \phi $ é o laplaciano de $ \phi $, que é a divergência do gradiente de $ \phi $:
nabla^2 phi
Então, podemos reescrever a expressão dentro da integral como:
phi

Passo 5

Agora, vamos usar a Regra do Produto para vetores, que nos diz que:
nabla cdot (psi nabla phi) = psi nabla cdot (nabla phi) + nabla psi cdot nabla phi
Comparando com o que temos dentro da integral, vemos que:
psi nabla cdot (nabla phi) + nabla psi cdot nabla phi = nabla cdot (psi nabla phi)

Passo 6

Substituindo isso de volta na integral original:
integralV nabla cdot (psi nabla phi) , dV = ointS psi nabla phi cdot n , dS
Aqui, usamos o Teorema de Gauss para transformar a integral de volume da divergência em uma integral de superfície.

Passo 7

Reconhecendo que $ \nabla \phi \cdot \hat{\mathbf{n}} $ é exatamente a derivada direcional de $ \phi $ na direção normal, ou seja, $ \frac{\partial \phi}{\partial n} $, tenho:
nabla phi cdot n
Portanto, chegamos à Primeira Identidade de Green:
phi

Passo 8

Agora, vamos para a Segunda Identidade de Green:
integralV(psi nabla^2 phi - phi nabla^2 psi) dV = ointS=partial V(psi partial phipartial n - phi partial psipartial n) dS
Para provar isso, vamos usar a Primeira Identidade de Green que já demonstramos.

Passo 9

Usando a Primeira Identidade de Green, temos duas expressões:
  1. Para $ \psi $ e $ \phi $:
psi
  1. Para $ \phi $ e $ \psi $:
phi

Passo 10

Agora, vamos subtrair a segunda equação da primeira:
integralV (psi nabla^2 phi + nabla psi cdot nabla phi - phi nabla^2 psi - nabla phi cdot nabla psi ) dV = ointS (psi partial phipartial n - phi partial psipartial n) dS
Note que os termos $ \nabla \psi \cdot \nabla \phi $ se cancelam:
nabla psi cdot nabla phi
Isso é exatamente a Segunda Identidade de Green que queríamos provar!

Resposta

Provar as Primeira e Segunda Identidades de Green utilizando os teoremas integrais foi concluído com sucesso, demonstrando que:
integralV(psi nabla^2 phi + nabla psi cdot nabla phi) dV = ointS=partial V psi partial phipartial n dS
e
integralV(psi nabla^2 phi - phi nabla^2 psi) dV = ointS=partial V(psi partial phipartial n - phi partial psipartial n) dS

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