Encontre uma expressão para a variação da superfície total de um cone circular reto quando o raio permanece constante e a altura sofre uma pequena variação De<a h.
[Fórmula para a área total do cone: S=pi R^2+pi R g ]

Passo 1

O enunciado pede a variação da superfície total de um cone circular reto quando o raio R é constante e a altura h sofre uma pequena variação De<a h. O conteúdo principal aqui é o uso de diferenciais e aproximação linear (diferencial) para funções de várias variáveis.

Passo 2

A superfície total do cone é
S = pi R^2 + pi R,g
onde g é a geratriz (ou geratriz oblíqua), dada por
g = raizR^2 + h^2,

Passo 3

Como R é constante, ao diferenciar S em relação a h temos
dS = dl(pi R^2r) + dl(pi R,gr) = 0 + pi R,dg = pi R,dg

Passo 4

Agora calculamos dg. Como
g = (R^2 + h^2)^1/2,
usa-se a regra da cadeia:
dg = 12(R^2 + h^2)^-1/2cdot 2h,dh = hg,dh
Substituindo em dS obtemos
dS = pi R;hg,dh

Passo 5

Para uma pequena variação De<a h, aproximamos De<a Sapprox dS. Assim
De<a S approx pi R,hg,De<a h = pi R,hraizR^2 + h^2;De<a h

Resposta

boxedDe<a S approx pi R,hraizR^2 + h^2;De<a h

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