Questão 7.
(a)
Mostre que se
são conjuntos abertos em
, então
é um conjunto aberto em
.
(b)
Se
é uma família de abertos em
, onde
é um conjunto de índices arbitrário, podemos afirmar que
é aberto em
? Justifique sua resposta.
(b)
Passo 1
O enunciado quer que a gente trabalhe com conjuntos abertos em
. Lembre que um conjunto
é aberto se, para todo
, existe
tal que
A parte (a) pede para provar isso na interseção de um número finito de abertos, e a parte (b) questiona se dá para estender à interseção de uma família arbitrária de abertos.
Passo 2
Para mostrar que
é aberto, tome um ponto qualquer
Como cada
é aberto, para cada
existe
tal que
Basta então definir
que é positivo. Com isso
pois esse intervalo está contido em cada
. Logo todo
da interseção fina tem uma pequena vizinhança contida nela, o que prova que
é aberto.
Passo 3
Para a parte (b), a resposta é não: a interseção de uma família arbitrária de abertos nem sempre é aberta. Um contraexemplo clássico é tomar, para cada
,
que é aberto em
. Mas
e
não é aberto, pois não existe intervalo centrado em
contido apenas em
. Isso mostra que interseções infinitas de abertos podem falhar em ser abertas.
Resposta
(a) A interseção finita de abertos em
é aberta, como mostramos escolhendo
.
(b) Não. Por exemplo,
, que não é aberto.