Questão 7.

(a) (0,5) Mostre que se A1, A2, ldots, An são conjuntos abertos em R, então capj=1^n Aj=A1 cap A2 cap ldots cap An é um conjunto aberto em R.
(b) (0,5) Se Aii in I é uma família de abertos em R, onde I é um conjunto de índices arbitrário, podemos afirmar que capj in I Aj é aberto em R ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado quer que a gente trabalhe com conjuntos abertos em R. Lembre que um conjunto AsubsetR é aberto se, para todo xin A, existe varepsilon>0 tal que
(x-varepsilon,;x+varepsilon)subset A
A parte (a) pede para provar isso na interseção de um número finito de abertos, e a parte (b) questiona se dá para estender à interseção de uma família arbitrária de abertos.

Passo 2

Para mostrar que capj=1^nAj é aberto, tome um ponto qualquer
xin A1cap A2capcdotscap An
Como cada Aj é aberto, para cada j=1,2,dots,n existe varepsilonj>0 tal que
(x-varepsilonj,;x+varepsilonj)subset Aj
Basta então definir
varepsilon = minvarepsilon1,varepsilon2,dots,varepsilonn,
que é positivo. Com isso
(x-varepsilon,;x+varepsilon)subsetcapj=1^nAj,
pois esse intervalo está contido em cada (x-varepsilonj,x+varepsilonj). Logo todo x da interseção fina tem uma pequena vizinhança contida nela, o que prova que capj=1^nAj é aberto.

Passo 3

Para a parte (b), a resposta é não: a interseção de uma família arbitrária de abertos nem sempre é aberta. Um contraexemplo clássico é tomar, para cada ninN,
An = l(-tfrac1n,;tfrac1nr),
que é aberto em R. Mas
capn=1^inftyAn = 0,
e 0 não é aberto, pois não existe intervalo centrado em 0 contido apenas em 0. Isso mostra que interseções infinitas de abertos podem falhar em ser abertas.

Resposta

(a) A interseção finita de abertos em R é aberta, como mostramos escolhendo varepsilon=minvarepsilon1,dots,varepsilonn>0.
(b) Não. Por exemplo, capn=1^infty(-1/n,1/n)=0, que não é aberto.

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