Calcule a seguinte derivada: dd x(raiza^2-x^2+a cdot arcsen(xa)).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=raiza^2-x^2 ;+; a,arcsin!l(tfracxar)
O conteúdo envolvido é derivada de função composta (regra da cadeia) e derivada da função inversa arcsin. Vamos usar
dduraizu=12raizu
e
dduarcsin(u)=1raiz1-u^2

Passo 2

Derivada de raiza^2-x^2. Seja u=a^2-x^2, então u'=-2x. Aplicando regra da cadeia:
ddxraiza^2-x^2 =12raiza^2-x^2cdot(-2x) =-xraiza^2-x^2

Passo 3

Derivada de a,arcsin!l(tfracxar). A constante a sai na frente. Seja v=tfracxa, logo v'=tfrac1a. Então
ddxl(a,arcsin(v)r) = acdot1raiz1-v^2cdot v' = acdot1raiz1-(x/a)^2cdot1a =1raiz1-(x/a)^2

Passo 4

Somando as duas partes:
f'(x) =-xraiza^2-x^2 +1raiz1-(x/a)^2

Passo 5

Reescrevendo raiz1-(x/a)^2=raiza^2-x^2a, temos
1raiz1-(x/a)^2 =araiza^2-x^2
Logo
f'(x) =-xraiza^2-x^2 +araiza^2-x^2 =a - xraiza^2-x^2

Resposta

ddxl(raiza^2-x^2+a,arcsin(tfracxa)r) =a - xraiza^2-x^2

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