Calcule as seguinte integrais.
integral 1x^2(x-1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1x^2(x-1)^2,dx,
que é uma integral de função racional. O caminho clássico é usar decomposição em frações parciais, pois o denominador está factorizado em dois fatores lineares repetidos: x e x-1, ambos de multiplicidade 2.

Passo 2

Escrevemos a decomposição em frações parciais da forma
1x^2(x-1)^2 = Ax+Bx^2+C(x-1)+D(x-1)^2
Multiplicando ambos os lados por x^2(x-1)^2, obtemos
1 = A,x,(x-1)^2 ;+;B,(x-1)^2;+;C,x^2(x-1);+;D,x^2

Passo 3

Expandindo em potências de
Dessa forma segue . Da primeira . E da segunda resulta em . Portanto

Passo 4

Agora integramos cada termo separadamente:
integral 2x,dx = 2lnlvert xrvert, integral 1x^2,dx = integral x^-2,dx = -1x,
integral l(-2x-1r),dx = -2lnlvert x-1rvert, integral 1(x-1)^2,dx = integral (x-1)^-2,dx = -1x-1
Somando tudo e acrescentando a constante C, obtemos
integral 1x^2(x-1)^2,dx =2lnlvert xrvert -1x -2lnlvert x-1rvert -1x-1 + C

Resposta

boxed integral 1x^2(x-1)^2,dx =2lnl|xr| -2lnl|x-1r| -1x -1x-1 + C

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