Encontre expressões explícitas (como no exercício anterior) para as funções multivalentes a seguir:
f(z)=arccosec z

Passo 1

O enunciado pede uma forma explícita, multivalente, de
f(z)=arccosecz,
ou seja, a inversa de csc w=z. Para resolver, vamos usar que
csc w=ziff sin w=1/z, logo
arccosecz=arcsin!l(1/zr)
Precisaremos então da expressão multivalente de arcsin u em termos de logaritmos complexos e raízes quadradas.

Passo 2

Recordando a forma geral multivalente de arcsin u:
arcsin u = -i,ln!l(i,u + raiz1 - u^2r) ;+;2pi n, ninZ

Passo 3

Substituindo u=1/z na fórmula acima, obtemos
arccosecz =arcsin!l(1/zr) =-i,ln!l(iz + raiz1 - 1z^2r) ;+;2pi n

Passo 4

Note que
raiz1 - 1z^2 =raizz^2 - 1z,
então
iz + raizz^2 - 1z =i + raizz^2 - 1z
Substituindo de volta:
arccosecz =-i,ln!l(i + raizz^2-1zr) ;+;2pi n

Passo 5

Separando o logaritmo, outra forma equivalente é
arccosecz =-i,ln!l(i + raizz^2 - 1r) ;+;i,ln z ;+;2pi n, ninZ

Resposta

Duas formas multivalentes equivalentes são
boxed arccosecz =-i,ln!l(i + raizz^2-1zr) ;+;2pi n, ninZ,
ou ainda
boxed arccosecz =-i,ln!l(i + raizz^2 - 1r) ;+;i,ln z ;+;2pi n, ninZ

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