Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis.
y^prime=e^t-y.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' = e^t - y,
que é do tipo separável. O que precisamos fazer é usar a técnica de separação de variáveis para encontrar a solução geral y(t).

Passo 2

Escrevemos a derivada explicitamente como
dydt = e^t-y = e^t ,e^-y
Em seguida, agrupamos todos os termos em y de um lado e em t do outro, isto é,
e^y,dy = e^t,dt

Passo 3

Agora integramos os dois lados da igualdade. Para o lado esquerdo, integramos em y; para o direito, em t:
integral e^y,dy = integral e^t,dt

Passo 4

Calculando as primitivas, obtemos
e^y = e^t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, isolamos y aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
y = lnl(e^t + Cr)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
boxedy(t) = lnl(e^t + Cr),
onde C é uma constante arbitrária.

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