Verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes
sumn=1^+infty 2 nn^2+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^+infty 2nn^2+1
é convergente ou divergente. Aqui temos uma série de termos positivos, então podemos usar um critério de comparação ou o teste da comparação de limites para séries de termos não negativos.

Passo 2

Definimos
an = 2nn^2+1.
Para comparar, note que para n grande vale n^2+1sim n^2, de modo que
ansim 2nn^2=2n.
Logo, escolhemos
bn = 2n,
cuja série sum bn = 2sum tfrac1n é a série harmônica multiplicada por 2, e sabemos que ela diverge.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação de limites, calculando
limntoinftyanbn = limntoinfty2nn^2+12n = limntoinfty2n^22,(n^2+1) = 1
Como esse limite é finito e estritamente positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Já que sum bn=2sum tfrac1n diverge, conclui-se que a série original também diverge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 2nn^2+1 é divergente.

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