Encontre a extremal do funcional
J[x]=\int_{1}^{2} \frac{\dot{x}^{2}}{4 t} d t
que satisfaz as condições de contorno
x(1)=5 \text { e } x(2)=11 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a extremal da funcional
J[x]=\int_{1}^{2}\frac{\dot{x}^{2}}{4t}\,dt
sujeita às condições de contorno
x(1)=5\quad\text{e}\quad x(2)=11.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é \dfrac{\dot{x}^{2}}{4t}, onde \dot{x} significa a derivada de x em relação a t.
  • O intervalo de integração é [1,2].
  • São dadas duas condições de contorno (valores fixos de x em t=1 e t=2).
    A tarefa é achar a função x(t) que torna J[x] uma extremal (mínimo ou máximo) respeitando os contornos.

Passo 2

Apresentação da ferramenta que vamos usar: a equação de Euler–Lagrange.
Seja uma funcional genérica
J[x]=\int_{a}^{b} L\bigl(t,x(t),\dot{x}(t)\bigr)\,dt.
Uma condição necessária para x(t) ser extremal é que ela satisfaça a equação de Euler–Lagrange:
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0.
Aqui L é a função integranda chamada Lagrangiana; \partial L/\partial \dot{x} significa derivada parcial de L em relação a \dot{x} e \partial L/\partial x em relação a x. Vou aplicar essa fórmula ao nosso problema.

Passo 3

Identificamos a Lagrangiana do problema:
L\bigl(t,x,\dot{x}\bigr)=\frac{\dot{x}^{2}}{4t}.
Observação importante: L não depende explicitamente de x (ou seja, \partial L/\partial x=0). Quando \partial L/\partial x=0, a equação de Euler–Lagrange reduz-se a
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)=0,
o que significa que \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}} é constante ao longo da solução.

Passo 4

Calculemos \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}. Como
L=\frac{\dot{x}^{2}}{4t},
temos, derivando em relação a \dot{x},
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{2\dot{x}}{4t}=\frac{\dot{x}}{2t}.
Pelo passo anterior essa quantidade é constante; denote essa constante por C:
\frac{\dot{x}}{2t}=C.

Passo 5

Isolamos \dot{x} e integramos para encontrar x(t). De \dfrac{\dot{x}}{2t}=C segue
\dot{x}=2Ct.
Integrando em relação a t,
x(t)=\int 2Ct\,dt = 2C\cdot\frac{t^{2}}{2} + D = C t^{2} + D,
onde D é constante de integração. Então a família de soluções candidatas é
x(t)=C t^{2} + D.

Passo 6

Agora aplicamos as condições de contorno para determinar C e D. Usando x(1)=5,
C\cdot 1^{2} + D = 5 \quad\Rightarrow\quad C + D = 5.
Usando x(2)=11,
C\cdot 2^{2} + D =11 \quad\Rightarrow\quad 4C + D =11.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(4C + D) - (C + D) = 11 - 5 \quad\Rightarrow\quad 3C = 6,
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C = 2.
Voltando em C + D = 5,
2 + D = 5 \quad\Rightarrow\quad D = 3.

Passo 7

Portanto a extremal que satisfaz os contornos é
x(t)=2 t^{2} + 3.
Verificação rápida (sanidade): para t=1 obtemos x(1)=2\cdot1^{2}+3=5 e para t=2 obtemos x(2)=2\cdot4+3=11, conforme requeridos.

Passo 8

Comentário sobre natureza da extremal (ajuda para prova): a Lagrangiana L=\dfrac{\dot{x}^{2}}{4t} é quadrática em \dot{x} com coeficiente \dfrac{1}{4t}>0 no intervalo t\in[1,2]. Isso faz L convexa em \dot{x}, o que implica que a extremal encontrada é de fato um mínimo (não apenas um extremo estacionário). Então x(t)=2t^{2}+3 minimiza J[x] entre as funções com os contornos dados.

Resposta

x(t)=2t^{2}+3

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