Encontre a extremal do funcional
que satisfaz as condições de contorno
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a extremal da funcional
sujeita às condições de contorno
Informações relevantes dadas:
- O integrando é
, onde significa a derivada de em relação a . - O intervalo de integração é
. - São dadas duas condições de contorno (valores fixos de
em e ).
A tarefa é achar a funçãoque torna uma extremal (mínimo ou máximo) respeitando os contornos.
Passo 2
Apresentação da ferramenta que vamos usar: a equação de Euler–Lagrange.
Seja uma funcional genérica
Seja uma funcional genérica
Uma condição necessária para
ser extremal é que ela satisfaça a equação de Euler–Lagrange:
Aqui
é a função integranda chamada Lagrangiana;
significa derivada parcial de
em relação a
e
em relação a
. Vou aplicar essa fórmula ao nosso problema.
Passo 3
Identificamos a Lagrangiana do problema:
Observação importante:
não depende explicitamente de
(ou seja,
). Quando
, a equação de Euler–Lagrange reduz-se a
o que significa que
é constante ao longo da solução.
Passo 4
Calculemos
. Como
temos, derivando em relação a
,
Pelo passo anterior essa quantidade é constante; denote essa constante por
:
Passo 5
Isolamos
e integramos para encontrar
. De
segue
Integrando em relação a
,
onde
é constante de integração. Então a família de soluções candidatas é
Passo 6
Agora aplicamos as condições de contorno para determinar
e
. Usando
,
Usando
,
Subtraindo a primeira equação da segunda:
logo
Voltando em
,
Passo 7
Portanto a extremal que satisfaz os contornos é
Verificação rápida (sanidade): para
obtemos
e para
obtemos
, conforme requeridos.
Passo 8
Comentário sobre natureza da extremal (ajuda para prova): a Lagrangiana
é quadrática em
com coeficiente
no intervalo
. Isso faz
convexa em
, o que implica que a extremal encontrada é de fato um mínimo (não apenas um extremo estacionário). Então
minimiza
entre as funções com os contornos dados.