Encontre a extremal do funcional
J[x]=\int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{t^{3}} d t
que satisfaz as condições de contorno
\text { que satisfaz } \quad x(1)=3 \text { e } x(2)=18

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a extremal da função funcional
J[x]=\int_{1}^{2}\frac{x^{2}}{t^{3}}\,dt
sujeita às condições de contorno \,x(1)=3 e \,x(2)=18.
Informações relevantes dadas:
  • O intervalo de integração é [1,2].
  • A função integranda é F(t,x,x')=\dfrac{x^{2}}{t^{3}}.
  • As condições de contorno fixam os valores de x em t=1 e t=2.
  • Observe que a integranda depende de t e de x, mas não depende de x' (a derivada de x).

Passo 2

Vou usar a condição necessária clássica para extremais: a equação de Euler–Lagrange. Vou explicar ela direitinho.
Para um funcional da forma
J[x]=\int_{a}^{b}F(t,x,x')\,dt,
uma condição necessária para x ser extremal (isto é, para x tornar J estacionário) é que x satisfaça a equação de Euler–Lagrange:
\frac{\partial F}{\partial x}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F}{\partial x'}\right)=0.
Aqui \partial F/\partial x significa a derivada parcial de F em relação à variável x, mantendo t e x' fixos; e \partial F/\partial x' é a derivada parcial em relação a x'. Essa equação vem de considerar variações \delta x que anulam nas extremidades e exigir que a primeira variação de J seja zero.

Passo 3

Agora aplico essa fórmula ao nosso F. Temos
F(t,x,x')=\frac{x^{2}}{t^{3}}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{2x}{t^{3}},\qquad \frac{\partial F}{\partial x'}=0
porque F não depende de x'.

Passo 4

Substituo na equação de Euler–Lagrange:
\frac{2x}{t^{3}}-\frac{d}{dt}\big(0\big)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2x}{t^{3}}=0.
Como t\in(1,2) tem t^{3}\neq 0, isso implica
x(t)=0\quad\text{para todo }t\in(1,2).
Ou seja, a equação necessária exige que qualquer extremal interno seja a função identicamente zero no intervalo aberto.

Passo 5

Verifico as condições de contorno: precisamos de uma função que satisfaça \,x(1)=3 e \,x(2)=18. A solução da equação de Euler–Lagrange encontrada é x(t)\equiv 0, que tem x(1)=0 e x(2)=0. Isso contradiz as condições de contorno. Portanto não existe função que satisfaça simultaneamente a equação de Euler–Lagrange e os dois valores fixos nos extremos. Conclusão imediata: não há extremal regular (do tipo que satisfaz a Euler–Lagrange) que atenda a essas condições de contorno.

Passo 6

Para entender melhor o que isso significa na prática — e para você não ficar com a sensação “só deu incompatibilidade” — vou mostrar que, na verdade, o funcional pode ser levado arbitrariamente perto de zero por funções admissíveis, mas o valor zero não é atingido por nenhuma função que respeite os extremos. Assim fica claro que não existe minimizador (nem outro extremal) com esses contornos.
Construção explícita de uma sequência admissível (x_{n}) que aproxima a infimum de J:
Defina x_{n} piecewise linear assim:
  • em [1,1+\tfrac{1}{n}] faça x_{n} variar linearmente de 3 até 0;
  • em [1+\tfrac{1}{n},2-\tfrac{1}{n}] faça x_{n}(t)=0;
  • em [2-\tfrac{1}{n},2] faça x_{n} variar linearmente de 0 até 18.
Cada x_{n} é contínua e respeita x_{n}(1)=3, x_{n}(2)=18, logo é admissível.

Passo 7

Estimativa do valor J[x_{n}]. Como t\in[1,2] temos 1/t^{3}\le 1. Então
J[x_{n}]=\int_{1}^{2}\frac{x_{n}(t)^{2}}{t^{3}}\,dt \le \int_{1}^{2}x_{n}(t)^{2}\,dt.
A integral de x_{n}^{2} só tem contribuição nas duas rampas (cada uma de largura 1/n). Calculo rápido cada contribuição:
Primeira rampa (de 3 até 0 em comprimento 1/n): com mudança linear dá
\int_{1}^{1+1/n}x_{n}^{2}\,dt = \frac{3}{n}.
Segunda rampa (de 0 até 18 em comprimento 1/n): cálculo semelhante dá
\int_{2-1/n}^{2}x_{n}^{2}\,dt = \frac{108}{n}.
(A conta detalhada: para uma rampa linear de amplitude A em comprimento 1/n a integral do quadrado dá \dfrac{A^{2}}{3}\cdot\frac{1}{n}. No caso A=3 9/3\cdot 1/n=3/n; no caso A=18 324/3\cdot 1/n=108/n.)
Logo
J[x_{n}]\le \int_{1}^{2}x_{n}^{2}\,dt = \frac{3}{n}+\frac{108}{n}=\frac{111}{n}.
Isto implica J[x_{n}]\to 0 quando n\to\infty. Portanto \inf J=0. Mas não existe x admissível com J[x]=0 porque J[x]=0 exigiria x(t)=0 em quase todo o intervalo, contradizendo os valores fixos nos extremos.

Passo 8

Síntese e interpretação final (motivação): a equação necessária de Euler–Lagrange exige x\equiv 0, que não satisfaz os contornos; por outro lado é possível aproximar o valor mínimo teórico 0 arbitrariamente bem com funções admissíveis que fazem x quase zero no interior e “saltam” (de forma contínua num trecho estreito) até os valores fixos nas extremidades. Assim não existe extremal (nenhuma função satisfazente à Euler–Lagrange e aos contornos); o ínfimo do funcional é 0 e não é atingido por nenhuma função admissível.

Resposta

Não existe extremal que satisfaça as condições de contorno. O ínfimo de J é 0, mas esse valor não é atingido por nenhuma função com x(1)=3 e x(2)=18.

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