Encontre a extremal do funcional
que satisfaz as condições de contorno
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a extremal da função funcional
sujeita às condições de contorno
e
.
Informações relevantes dadas:
- O intervalo de integração é
. - A função integranda é
. - As condições de contorno fixam os valores de
em e . - Observe que a integranda depende de
e de , mas não depende de (a derivada de ).
Passo 2
Vou usar a condição necessária clássica para extremais: a equação de Euler–Lagrange. Vou explicar ela direitinho.
Para um funcional da forma
uma condição necessária para
ser extremal (isto é, para
tornar
estacionário) é que
satisfaça a equação de Euler–Lagrange:
Aqui
significa a derivada parcial de
em relação à variável
, mantendo
e
fixos; e
é a derivada parcial em relação a
. Essa equação vem de considerar variações
que anulam nas extremidades e exigir que a primeira variação de
seja zero.
Passo 3
Agora aplico essa fórmula ao nosso
. Temos
Calculo as derivadas parciais:
porque
não depende de
.
Passo 4
Substituo na equação de Euler–Lagrange:
Como
tem
, isso implica
Ou seja, a equação necessária exige que qualquer extremal interno seja a função identicamente zero no intervalo aberto.
Passo 5
Verifico as condições de contorno: precisamos de uma função que satisfaça
e
. A solução da equação de Euler–Lagrange encontrada é
, que tem
e
. Isso contradiz as condições de contorno. Portanto não existe função que satisfaça simultaneamente a equação de Euler–Lagrange e os dois valores fixos nos extremos. Conclusão imediata: não há extremal regular (do tipo que satisfaz a Euler–Lagrange) que atenda a essas condições de contorno.
Passo 6
Para entender melhor o que isso significa na prática — e para você não ficar com a sensação “só deu incompatibilidade” — vou mostrar que, na verdade, o funcional pode ser levado arbitrariamente perto de zero por funções admissíveis, mas o valor zero não é atingido por nenhuma função que respeite os extremos. Assim fica claro que não existe minimizador (nem outro extremal) com esses contornos.
Construção explícita de uma sequência admissível
que aproxima a infimum de
:
Defina
piecewise linear assim:
- em
faça variar linearmente de até ; - em
faça ; - em
faça variar linearmente de até .
Cada
é contínua e respeita
,
, logo é admissível.
Passo 7
Estimativa do valor
. Como
temos
. Então
A integral de
só tem contribuição nas duas rampas (cada uma de largura
). Calculo rápido cada contribuição:
Primeira rampa (de
até
em comprimento
): com mudança linear dá
Segunda rampa (de
até
em comprimento
): cálculo semelhante dá
(A conta detalhada: para uma rampa linear de amplitude
em comprimento
a integral do quadrado dá
. No caso
dá
; no caso
dá
.)
Logo
Isto implica
quando
. Portanto
. Mas não existe
admissível com
porque
exigiria
em quase todo o intervalo, contradizendo os valores fixos nos extremos.
Passo 8
Síntese e interpretação final (motivação): a equação necessária de Euler–Lagrange exige
, que não satisfaz os contornos; por outro lado é possível aproximar o valor mínimo teórico
arbitrariamente bem com funções admissíveis que fazem
quase zero no interior e “saltam” (de forma contínua num trecho estreito) até os valores fixos nas extremidades. Assim não existe extremal (nenhuma função satisfazente à Euler–Lagrange e aos contornos); o ínfimo do funcional é
e não é atingido por nenhuma função admissível.
Resposta
Não existe extremal que satisfaça as condições de contorno. O ínfimo de
é
, mas esse valor não é atingido por nenhuma função com
e
.