(2 y+x y) d x+6 x d y=0
Resp:: 6 ln |y|=-x-2 ln |x|+C

Passo 1

Na questão temos a equação diferencial de primeira ordem na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0, onde M(x,y) = y(2 + x) e N(x,y)=6x. Vamos usar o método de equações separáveis.

Passo 2

Para aplicar separação de variáveis, dividimos toda a equação por x,y, assumindo xneq0 e yneq0. Assim:
y(2 + x)x,y,dx + 6xx,y,dy = 0
o que simplifica para
2 + xx,dx + 6y,dy = 0

Passo 3

Reescrevendo 2 + xx = 2x + 1, a equação fica
2x,dx + dx + 6y,dy = 0

Passo 4

Agora integramos cada termo em relação às suas variáveis:
integral 2x,dx + integral dx + integral 6y,dy = C
Realizando as integrais, obtemos
2ln|x| + x + 6ln|y| = C

Passo 5

Finalmente, isolamos o termo 6ln|y|:
6ln|y| = -x - 2ln|x| + C

Resposta

6 ln|y| = -x - 2 ln|x| + C

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