Encontre os extremantes locais das funções abaixo e classifique-os em pontos de máximo, de mínimo ou de sela
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre os extremantes locais das funções abaixo e classifique-os em pontos de máximo, de mínimo ou de sela” para a função
Informações relevantes dadas:
- A função
está definida para todos os pares . - Preciso encontrar pontos críticos (onde o gradiente é zero) e então classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Passo 2
Primeiro precisamos encontrar os pontos críticos: são os pontos onde as derivadas parciais primeiras de
se anulam. Vou explicar rápido o que é derivada parcial: a derivada parcial de
em relação a
, denotada
ou
, é a derivada que obtemos tratando
como constante e diferenciando em relação a
. Analogamente para
.
Calculemos as derivadas parciais de
:
Ao derivar em relação a
, termos que não dependem de
viram constantes e sua derivada é zero. Assim
Derivando em relação a
, termos que não dependem de
somem zero. Assim
Passo 3
Agora resolvemos o sistema
e
para achar os pontos críticos.
Da equação
:
Da equação
:
Portanto os pontos críticos são os pares
e
.
Passo 4
Agora precisamos classificar esses pontos críticos. Vou ensinar o teste que usamos: a chamada “segunda derivada” ou teste do Hessiano (explicação didática). A ideia é aproximar a função perto do ponto crítico por um polinômio quadrático (expansão de Taylor de segunda ordem). Para essa aproximação só importam as segundas derivadas no ponto crítico. Esquematicamente, em torno de um ponto crítico, o comportamento é dominado pelo formulário quadrático
onde
e
são pequenos deslocamentos em
e
, e
são as segundas derivadas avaliadas no ponto crítico.
O teste prático:
- Calcule
no ponto crítico. - Se
e então temos mínimo local. - Se
e então temos máximo local. - Se
então temos ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Isso funciona porque
é proporcional ao determinante da matriz Hessiana; o sinal de
e de
indica a definitude do formulário quadrático
.
Passo 5
Calculemos as segundas derivadas de
:
Note que
é constante igual a
,
(a função não mistura
e
nos termos quadráticos) e
depende de
por causa do termo
.
Passo 6
Avaliamo os valores de
e classificamos cada ponto crítico:
Para o ponto
:
Como
e
, pelo teste temos que
é um mínimo local.
Para o ponto
:
Como
, pelo teste temos que
é um ponto de sela.
Passo 7
Por completude, calculo também os valores da função nesses pontos (às vezes a prova pede o valor do extremante):
Para
:
Para
: