Encontre os extremantes locais das funções abaixo e classifique-os em pontos de máximo, de mínimo ou de sela
f(x, y)=y^{3}+x^{2}-2 x-12 y+4

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre os extremantes locais das funções abaixo e classifique-os em pontos de máximo, de mínimo ou de sela” para a função
f(x,y)=y^{3}+x^{2}-2x-12y+4.
Informações relevantes dadas:
  • A função f está definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2.
  • Preciso encontrar pontos críticos (onde o gradiente é zero) e então classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar os pontos críticos: são os pontos onde as derivadas parciais primeiras de f se anulam. Vou explicar rápido o que é derivada parcial: a derivada parcial de f em relação a x, denotada \frac{\partial f}{\partial x} ou f_x, é a derivada que obtemos tratando y como constante e diferenciando em relação a x. Analogamente para f_y.
Calculemos as derivadas parciais de f:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{3}+x^{2}-2x-12y+4\bigr)
Ao derivar em relação a x, termos que não dependem de x viram constantes e sua derivada é zero. Assim
f_x = 2x-2.
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}+x^{2}-2x-12y+4\bigr)
Derivando em relação a y, termos que não dependem de y somem zero. Assim
f_y = 3y^{2}-12.

Passo 3

Agora resolvemos o sistema \,f_x=0 e \,f_y=0 para achar os pontos críticos.
Da equação f_x=0:
2x-2=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=2 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Da equação f_y=0:
3y^{2}-12=0 \quad\Rightarrow\quad 3y^{2}=12 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad y=\pm 2.
Portanto os pontos críticos são os pares (x,y)=(1,2) e (1,-2).

Passo 4

Agora precisamos classificar esses pontos críticos. Vou ensinar o teste que usamos: a chamada “segunda derivada” ou teste do Hessiano (explicação didática). A ideia é aproximar a função perto do ponto crítico por um polinômio quadrático (expansão de Taylor de segunda ordem). Para essa aproximação só importam as segundas derivadas no ponto crítico. Esquematicamente, em torno de um ponto crítico, o comportamento é dominado pelo formulário quadrático
Q(h,k)=\tfrac{1}{2}\bigl(f_{xx}h^{2}+2f_{xy}hk+f_{yy}k^{2}\bigr),
onde h e k são pequenos deslocamentos em x e y, e f_{xx},f_{xy},f_{yy} são as segundas derivadas avaliadas no ponto crítico.
O teste prático:
  • Calcule D = f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2} no ponto crítico.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então temos mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então temos máximo local.
  • Se D<0 então temos ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Isso funciona porque D é proporcional ao determinante da matriz Hessiana; o sinal de D e de f_{xx} indica a definitude do formulário quadrático Q.

Passo 5

Calculemos as segundas derivadas de f:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(2x-2)=2.
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(3y^{2}-12)=6y.
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2x-2)=0.
Note que f_{xx} é constante igual a 2, f_{xy}=0 (a função não mistura x e y nos termos quadráticos) e f_{yy} depende de y por causa do termo y^{3}.

Passo 6

Avaliamo os valores de D e classificamos cada ponto crítico:
Para o ponto (1,2):
f_{xx}=2,\qquad f_{yy}=6y=6\cdot 2=12,\qquad f_{xy}=0.
D=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}=2\cdot 12-0=24.
Como D=24>0 e f_{xx}=2>0, pelo teste temos que (1,2) é um mínimo local.
Para o ponto (1,-2):
f_{xx}=2,\qquad f_{yy}=6y=6\cdot(-2)=-12,\qquad f_{xy}=0.
D=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}=2\cdot(-12)-0=-24.
Como D=-24<0, pelo teste temos que (1,-2) é um ponto de sela.

Passo 7

Por completude, calculo também os valores da função nesses pontos (às vezes a prova pede o valor do extremante):
Para (1,2):
f(1,2)=2^{3}+1^{2}-2\cdot 1-12\cdot 2+4=8+1-2-24+4=-13.
Para (1,-2):
f(1,-2)=(-2)^{3}+1^{2}-2\cdot 1-12\cdot(-2)+4=-8+1-2+24+4=19.

Resposta

(1,2): mínimo local, f(1,2)=-13
(1,-2): ponto de sela, f(1,-2)=19

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