Encontre os pontos de máximo e de mínimo da função
na região triangular
delimitada pelas retas
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e a região triangular
delimitada pelas retas
,
e
.
Pergunta: encontre os pontos de máximo e de mínimo de na região
.
Informações relevantes fornecidas:
Pergunta: encontre os pontos de máximo e de mínimo de
Informações relevantes fornecidas:
- A função:
. - As fronteiras da região:
, , . - A região é o triângulo fechado formado por essas três retas (ou seja, inclui as bordas).
Passo 2
Primeiro vamos identificar os vértices do triângulo
. Os vértices são as interseções das pares de retas dadas. Vou calcular cada uma:
- Interseção de
com : substituindo obtemos . - Interseção de
com : substituindo em dá , logo o ponto é . - Interseção de
com : substituindo em dá , logo o ponto é .
Portanto os vértices do triângulo são, e .
Passo 3
Agora uma explicação didática do método: por que basta olhar os vértices?
- A função
é linear (soma de constantes vezes e ). - Num conjunto convexo e fechado como um polígono convexo (aqui o triângulo
), uma função linear atinge seus valores extremos na fronteira, e mais especificamente os pontos de contato finais ao “deslizar” as retas de nível são vértices. Intuitivamente: as retas são paralelas entre si; ao aumentar deslocamos essa reta até o último ponto que ainda toca o triângulo — esse toque final ocorre num vértice. O mesmo vale ao diminuir para o mínimo. - Conclusão prática (útil na prova): para uma função linear em um polígono convexo basta avaliar
nos vértices e comparar os valores. Isso evita estudar toda a região.
Passo 4
Vamos avaliar
em cada vértice, mostrando as contas passo a passo.
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 5
Comparemos os valores obtidos:
,
e
.
- O maior valor é
, atingido no ponto . - O menor valor é
, atingido no ponto .
Portanto o máximo e o mínimo na regiãoocorrem nos vértices indicados.
Resposta
Máximo:
com valor
.
Mínimo: com valor
.
Mínimo: