4(1,0) Encontre os pontos de máximo e de mínimo da função f(x, y)=5 x-2 y na região triangular A delimitada pelas retas x=0, y=0 e x+y=1.

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y)=5x-2y\, e a região triangular A delimitada pelas retas \,x=0\,, \,y=0\, e \,x+y=1\,.
Pergunta: encontre os pontos de máximo e de mínimo de \,f\, na região A.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função: \,f(x,y)=5x-2y\,.
  • As fronteiras da região: \,x=0\,, \,y=0\,, \,x+y=1\,.
  • A região é o triângulo fechado formado por essas três retas (ou seja, inclui as bordas).

Passo 2

Primeiro vamos identificar os vértices do triângulo A. Os vértices são as interseções das pares de retas dadas. Vou calcular cada uma:
  • Interseção de \,x=0\, com \,y=0\,: substituindo obtemos (x,y)=(0,0).
  • Interseção de \,x=0\, com \,x+y=1\,: substituindo \,x=0\, em \,x+y=1\, \,y=1\,, logo o ponto é (0,1).
  • Interseção de \,y=0\, com \,x+y=1\,: substituindo \,y=0\, em \,x+y=1\, \,x=1\,, logo o ponto é (1,0).
    Portanto os vértices do triângulo são \,(0,0), \,(0,1) e \,(1,0).

Passo 3

Agora uma explicação didática do método: por que basta olhar os vértices?
  • A função \,f(x,y)=5x-2y\, é linear (soma de constantes vezes x e y).
  • Num conjunto convexo e fechado como um polígono convexo (aqui o triângulo A), uma função linear atinge seus valores extremos na fronteira, e mais especificamente os pontos de contato finais ao “deslizar” as retas de nível \,5x-2y=c\, são vértices. Intuitivamente: as retas \,5x-2y=c\, são paralelas entre si; ao aumentar c deslocamos essa reta até o último ponto que ainda toca o triângulo — esse toque final ocorre num vértice. O mesmo vale ao diminuir c para o mínimo.
  • Conclusão prática (útil na prova): para uma função linear em um polígono convexo basta avaliar \,f\, nos vértices e comparar os valores. Isso evita estudar toda a região.

Passo 4

Vamos avaliar \,f\, em cada vértice, mostrando as contas passo a passo.
  • Em \,(0,0):
f(0,0)=5\cdot 0 - 2\cdot 0 = 0.
  • Em \,(1,0):
f(1,0)=5\cdot 1 - 2\cdot 0 = 5.
  • Em \,(0,1):
f(0,1)=5\cdot 0 - 2\cdot 1 = -2.

Passo 5

Comparemos os valores obtidos:
\,f(0,0)=0\,, \,f(1,0)=5\, e \,f(0,1)=-2\,.
  • O maior valor é \,5\,, atingido no ponto \,(1,0).
  • O menor valor é -2, atingido no ponto \,(0,1).
    Portanto o máximo e o mínimo na região A ocorrem nos vértices indicados.

Resposta

Máximo: (1,0) com valor 5.
Mínimo: (0,1) com valor -2.

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