Encontre os extremantes locais das funções abaixo e classifique-os em pontos de máximo, de mínimo ou de sela
f(x, y)=x^{2}+y^{2}-4 x-6 y+10

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os extremantes locais da função e classificá-los como máximo, mínimo ou ponto de sela.
A função dada é f(x,y)=x^{2}+y^{2}-4x-6y+10.
Informações relevantes fornecidas: a função é um polinômio de grau 2 em x e y (ou seja, uma forma quadrática deslocada mais uma constante).

Passo 2

Primeiro passo prático para achar extremos: encontrar pontos críticos calculando as derivadas parciais e igualando-as a zero. Definimos as derivadas parciais como seguem (estas derivadas dizem como f muda quando mexemos só em x ou só em y):
f_x=\frac{\partial f}{\partial x},\qquad f_y=\frac{\partial f}{\partial y}.
Calculemos:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+y^{2}-4x-6y+10\big)=2x-4,
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+y^{2}-4x-6y+10\big)=2y-6.

Passo 3

Agora achamos os pontos críticos resolvendo o sistema \;f_x=0,\;f_y=0\;. Isso significa procurar (x,y) onde o gradiente é nulo (nenhuma variação primeira da função).
Igualando a zero:
2x-4=0\quad\Rightarrow\quad x=2,
2y-6=0\quad\Rightarrow\quad y=3.
Logo existe um único ponto crítico: (2,3).

Passo 4

Para classificar o ponto crítico usamos as segundas derivadas e a matriz Hessiana. A Hessiana é a matriz das segundas derivadas:
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
Calculemos as segundas derivadas:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(2x-4)=2,\qquad f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(2y-6)=2,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(2x-4)=0,\qquad f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(2y-6)=0.
Portanto
H=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
Regra prática para 2\times2: se f_{xx}>0 e \det H>0 então H é definida positiva e o ponto é mínimo local; se f_{xx}<0 e \det H>0 então máximo local; se \det H<0 então sela. Aqui f_{xx}=2>0 e
\det H = 2\cdot 2 - 0\cdot 0 = 4>0.
Logo H é definida positiva e o ponto crítico (2,3) é um ponto de mínimo (local).]

Passo 5

Para deixar mais claro e ver o valor mínimo, podemos completar quadrados (é uma técnica útil e direta para quadráticas). Reescrevendo f:
x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4,\qquad y^{2}-6y=(y-3)^{2}-9.
Assim
f(x,y)=(x-2)^{2}-4+(y-3)^{2}-9+10=(x-2)^{2}+(y-3)^{2}-3.
Como (x-2)^{2}\ge 0 e (y-3)^{2}\ge 0 para todos os x,y, o menor valor possível de f ocorre quando essas duas parcelas valem zero, isto é em (x,y)=(2,3). O valor mínimo é
f(2,3)=-3.
Observação final e motivadora: além de mínimo local, este é o mínimo global, já que a expressão é soma de quadrados mais constante.

Resposta

(2,3) é um ponto de mínimo (valor mínimo f(2,3)=-3).

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