Encontre os extremantes locais das funções abaixo e classifique-os em pontos de máximo, de mínimo ou de sela
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os extremantes locais da função e classificá-los como máximo, mínimo ou ponto de sela.
A função dada é .
Informações relevantes fornecidas: a função é um polinômio de grau 2 em e
(ou seja, uma forma quadrática deslocada mais uma constante).
A função dada é
Informações relevantes fornecidas: a função é um polinômio de grau 2 em
Passo 2
Primeiro passo prático para achar extremos: encontrar pontos críticos calculando as derivadas parciais e igualando-as a zero. Definimos as derivadas parciais como seguem (estas derivadas dizem como
muda quando mexemos só em
ou só em
):
Calculemos:
Passo 3
Agora achamos os pontos críticos resolvendo o sistema
. Isso significa procurar
onde o gradiente é nulo (nenhuma variação primeira da função).
Igualando a zero:
Igualando a zero:
Logo existe um único ponto crítico:
.
Passo 4
Para classificar o ponto crítico usamos as segundas derivadas e a matriz Hessiana. A Hessiana é a matriz das segundas derivadas:
Calculemos as segundas derivadas:
Portanto
Regra prática para
: se
e
então
é definida positiva e o ponto é mínimo local; se
e
então máximo local; se
então sela. Aqui
e
Logo
é definida positiva e o ponto crítico
é um ponto de mínimo (local).]
Passo 5
Para deixar mais claro e ver o valor mínimo, podemos completar quadrados (é uma técnica útil e direta para quadráticas). Reescrevendo
:
Assim
Como
e
para todos os
, o menor valor possível de
ocorre quando essas duas parcelas valem zero, isto é em
. O valor mínimo é
Observação final e motivadora: além de mínimo local, este é o mínimo global, já que a expressão é soma de quadrados mais constante.