Em cada um dos casos abaixo encontre as equações do plano tangente e da reta normal no ponto
dado.
Ográfico da função
no ponto
Ográfico da função
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
no ponto
. As informações dadas são:
Calculamos o valor em
:
Portanto o ponto pedido é
Nada mais é fornecido no enunciado.
Passo 2
Explicando a técnica que vamos usar (sem ainda resolver): para uma superfície dada por
, o plano tangente em
usa as derivadas parciais
e
avaliadas em
. Essas derivadas parciais são as inclinações da superfície nas direções dos eixos
e
. Vamos calcular
e
.
Cálculo de
(derivada parcial em relação a
, tratando
como constante):
Cálculo de
(derivada parcial em relação a
, tratando
como constante):
Agora avaliamos em
:
Interpretação rápida: a inclinação da superfície na direção
em
é
(não varia na primeira ordem com
), e na direção
varia com inclinação
.
Passo 3
Fórmula do plano tangente: para
no ponto
temos a linearização
Aqui
,
,
,
,
. Substituindo:
Simplificando:
Podemos também escrever em forma implícita:
Comentário didático: o coeficiente de
é zero porque
, então o plano tangente não depende linearmente de
perto desse ponto (na primeira aproximação).
Passo 4
Agora a reta normal. Explico a ideia: a reta normal à superfície no ponto é a reta que passa por
e tem direção dada pelo vetor normal ao plano tangente. Para a superfície escrita como
, o vetor normal é o gradiente
Avaliado em
isso dá
Esse vetor é perpendicular ao plano tangente (pode aparecer com sinal trocado, que também é normal).
Passo 5
Equação paramétrica da reta normal: partindo de
e direção
, a reta normal em parâmetro
é
Escrevendo componente a componente:
Explicação prática:
fica constante igual a
porque a componente
do vetor normal é zero; a reta desce em
com velocidade
e varia em
com velocidade
.
Resposta
Plano tangente:
\nReta normal (paramétrica):