Em cada um dos casos abaixo encontre as equações do plano tangente e da reta normal no ponto P_{0} dado.
Ográfico da função f(x, y)=x^{3}-3 x y^{2} no ponto P_{0}=(1,1, f(1,1))=(1,1,-2)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função f(x,y)=x^{3}-3xy^{2} no ponto P_{0}=(1,1,f(1,1)). As informações dadas são:
f(x,y)=x^{3}-3xy^{2}.
Calculamos o valor em (1,1):
f(1,1)=1^{3}-3\cdot1\cdot1^{2}=1-3=-2.
Portanto o ponto pedido é
P_{0}=(1,1,-2).
Nada mais é fornecido no enunciado.

Passo 2

Explicando a técnica que vamos usar (sem ainda resolver): para uma superfície dada por z=f(x,y), o plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) usa as derivadas parciais f_{x} e f_{y} avaliadas em (x_{0},y_{0}). Essas derivadas parciais são as inclinações da superfície nas direções dos eixos x e y. Vamos calcular f_{x} e f_{y}.
Cálculo de f_{x} (derivada parcial em relação a x, tratando y como constante):
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}-3xy^{2}\big)=3x^{2}-3y^{2}.
Cálculo de f_{y} (derivada parcial em relação a y, tratando x como constante):
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}-3xy^{2}\big)=-6xy.
Agora avaliamos em (1,1):
f_{x}(1,1)=3\cdot1^{2}-3\cdot1^{2}=3-3=0,
f_{y}(1,1)=-6\cdot1\cdot1=-6.
Interpretação rápida: a inclinação da superfície na direção x em P_{0} é 0 (não varia na primeira ordem com x), e na direção y varia com inclinação -6.

Passo 3

Fórmula do plano tangente: para z=f(x,y) no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) temos a linearização
z = f(x_{0},y_{0}) + f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Aqui x_{0}=1, y_{0}=1, z_{0}=-2, f_{x}(1,1)=0, f_{y}(1,1)=-6. Substituindo:
z = -2 + 0\cdot(x-1) + (-6)\cdot(y-1).
Simplificando:
z = -2 -6(y-1) = -2 -6y +6 = 4 -6y.
Podemos também escrever em forma implícita:
z + 6y -4 = 0.
Comentário didático: o coeficiente de (x-1) é zero porque f_{x}(1,1)=0, então o plano tangente não depende linearmente de x perto desse ponto (na primeira aproximação).

Passo 4

Agora a reta normal. Explico a ideia: a reta normal à superfície no ponto é a reta que passa por P_{0} e tem direção dada pelo vetor normal ao plano tangente. Para a superfície escrita como F(x,y,z)=f(x,y)-z=0, o vetor normal é o gradiente
\nabla F=(f_{x},f_{y},-1).
Avaliado em (1,1) isso dá
\nabla F(1,1)=(0,-6,-1).
Esse vetor é perpendicular ao plano tangente (pode aparecer com sinal trocado, que também é normal).

Passo 5

Equação paramétrica da reta normal: partindo de P_{0}=(1,1,-2) e direção v=(0,-6,-1), a reta normal em parâmetro t é
(x,y,z)=(1,1,-2)+t(0,-6,-1).
Escrevendo componente a componente:
x=1,
y=1-6t,
z=-2-t.
Explicação prática: x fica constante igual a 1 porque a componente x do vetor normal é zero; a reta desce em z com velocidade -1 e varia em y com velocidade -6.

Resposta

Plano tangente: z=4-6y\nReta normal (paramétrica): x=1,\;y=1-6t,\;z=-2-t

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