Encontre os extremos de
.
Passo 1
O enunciado pede os extremos (mínimos e máximos) da função
no conjunto definido pelas restrições
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O domínio é o conjunto de pontos
com e, para cada , satisfaz . - É implícito que o domínio é o conjunto de pontos com
tal que e .
As perguntas que vamos responder:
- Onde
atinge mínimo(es) no domínio e qual(is) o(s) valor(es)? - Onde
atinge máximo(s) no domínio e qual(is) o(s) valor(es)?
Passo 2
Caracterizar o domínio (importante para saber se extremos globais existem).
- Determinar o intervalo de
permitido pela condição com .
essa desigualdade é satisfeita para
. Como também exigimos
, obtemos
- Para cada
, varia entre (curva inferior) e (reta superior). Assim o domínio é o conjunto compacto (fechado e limitado) dado por
Comentário importante (teoria usada): como
é compacto e
é contínua (é um polinômio), por um teorema básico de análise
atinge valor mínimo e máximo absolutos em
. Portanto basta verificar pontos críticos internos e a fronteira de
.
Observação intuitiva útil:
é exatamente o quadrado da distância entre
e o ponto
. Ou seja, minimizar
é projetar
sobre
; máximo é o ponto de
mais distante de
.
Passo 3
Procurar pontos críticos no interior do domínio (onde as desigualdades são estritas:
e
).
- Cálculo das derivadas parciais:
- Ponto crítico interno é solução do sistema
:
-
Verificação de viabilidade: para
temos e , logo deve estar entre e ; portanto pertence ao domínio . É um ponto interior (na verdade é um ponto onde as duas fronteiras se encontram, isto é permitido e está em ). -
Valor de
nesse ponto:
Interpretação: como
é quadrado da distância a
, e
, a menor distância é zero, então
é o mínimo global e o valor mínimo é
.
Passo 4
Agora procurar máximos — já sabemos que máximo ocorre na fronteira de
(ou em pontos candidatos na fronteira), pois interior tem só o mínimo já encontrado. Descrever a fronteira de
:
- Parte A (curva inferior):
, com . - Parte B (reta superior):
, com . - Parte C (aresta vertical):
com . (As extremidades e já aparecem como pontos limites das curvas A e B.)
Vamos analisarrestrita a cada uma dessas partes (reduzindo para funções de uma variável) e comparar os valores nos extremos e em possíveis pontos críticos dessas funções de uma variável.
Passo 5
Análise da parte B (reta superior)
,
.
- Substituir em
:
- Essa é uma função de uma variável. Derivando:
Solução de
é
, ponto que corresponde a
— já sabemos é mínimo global (valor zero). Em
o máximo de
ocorre em um extremo do intervalo porque a função é quadrática com concavidade positiva. Avaliar nos extremos:
Portanto, sobre a reta superior o maior valor é
em
.
Passo 6
Análise da parte A (curva inferior)
,
.
- Substituir em
:
- Derivar para encontrar extremos em
:
Calcule. Usando derivação:
Simplificando:
Procuramos raízes de
. Dividindo por 2 para simplificar:
Testando
:
logo
é raiz. Fazendo divisão polinomial, o fator restante é
, cujas raízes são
Essas duas raízes são números negativos (aproximadamente
e
), portanto fora do intervalo
. Conclusão: no intervalo
a única solução de
é
(extremo do intervalo). Assim o máximo de
em
ocorre em um extremo do intervalo. Avaliar nos extremos:
Portanto, sobre a parábola inferior o maior valor é
em
.
Passo 7
Análise da parte C (aresta
,
).
- Para
temos
- Essa função, para
, é crescente ao nos afastarmos de ; o valor máximo em ocorre no ponto mais distante de , que é . Avaliando:
Esses valores coincidem com os obtidos nos extremos das partes A e B: o ponto
dá
e
dá
.
Passo 8
Comparar todos os candidatos e concluir:
- Encontramos um ponto crítico interno
com . Como sempre (soma de quadrados) e o ponto pertence a , esse é o mínimo global. - Nos pontos da fronteira os maiores valores encontrados foram:
- Em
: . - Em
: . - Em
: (já citado).
Não há nenhum outro ponto com valor maior quenas análises das fronteiras. Logo o máximo global em é atingido em .
- Em
Comentário final motivador: deu trabalho, mas a ideia é sempre a mesma — verificar pontos críticos interiores (gradiente zero) e depois reduzir para uma variável nas fronteiras. Aqui ajudou muito notar que
é a distância ao ponto
, o que facilita prever que o mínimo será zero se
estiver no domínio (e estava).
Resposta
Mínimo global:
em
Máximo global: em
Máximo global: