Encontre os extremos de f(x, y)=(x-2)^{2}+(y-4)^{2} ; \quad x \geq 0, y \geq 0, x^{2} \leq y \leq x+2.

Passo 1

O enunciado pede os extremos (mínimos e máximos) da função f(x,y)=(x-2)^{2}+(y-4)^{2} no conjunto definido pelas restrições
x \geq 0,\qquad y \geq 0,\qquad x^{2}\leq y \leq x+2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=(x-2)^{2}+(y-4)^{2}.
  • O domínio é o conjunto de pontos (x,y) com x\ge0 e, para cada x, y satisfaz x^{2}\le y\le x+2.
  • É implícito que o domínio é o conjunto de pontos com x tal que x^{2}\le x+2 e x\ge0.
As perguntas que vamos responder:
  • Onde f atinge mínimo(es) no domínio e qual(is) o(s) valor(es)?
  • Onde f atinge máximo(s) no domínio e qual(is) o(s) valor(es)?

Passo 2

Caracterizar o domínio (importante para saber se extremos globais existem).
  1. Determinar o intervalo de x permitido pela condição x^{2}\le x+2 com x\ge0.
x^{2}-x-2\le0 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)(x+1)\le0,
essa desigualdade é satisfeita para -1\le x\le2. Como também exigimos x\ge0, obtemos
0\le x\le 2.
  1. Para cada x\in[0,2], y varia entre y=x^{2} (curva inferior) e y=x+2 (reta superior). Assim o domínio é o conjunto compacto (fechado e limitado) dado por
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\; x^{2}\le y\le x+2\}.
Comentário importante (teoria usada): como D é compacto e f é contínua (é um polinômio), por um teorema básico de análise f atinge valor mínimo e máximo absolutos em D. Portanto basta verificar pontos críticos internos e a fronteira de D.
Observação intuitiva útil: f(x,y) é exatamente o quadrado da distância entre (x,y) e o ponto (2,4). Ou seja, minimizar f é projetar (2,4) sobre D; máximo é o ponto de D mais distante de (2,4).

Passo 3

Procurar pontos críticos no interior do domínio (onde as desigualdades são estritas: 0<x<2 e x^{2}<y<x+2).
  • Cálculo das derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=2(x-2),\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2(y-4).
  • Ponto crítico interno é solução do sistema \nabla f=0:
2(x-2)=0,\qquad 2(y-4)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=2,\; y=4.
  • Verificação de viabilidade: para x=2 temos x^{2}=4 e x+2=4, logo y deve estar entre 4 e 4; portanto (2,4) pertence ao domínio D. É um ponto interior (na verdade é um ponto onde as duas fronteiras se encontram, isto é permitido e está em D).
  • Valor de f nesse ponto:
f(2,4)=(2-2)^{2}+(4-4)^{2}=0.
Interpretação: como f é quadrado da distância a (2,4), e (2,4)\in D, a menor distância é zero, então (2,4) é o mínimo global e o valor mínimo é 0.

Passo 4

Agora procurar máximos — já sabemos que máximo ocorre na fronteira de D (ou em pontos candidatos na fronteira), pois interior tem só o mínimo já encontrado. Descrever a fronteira de D:
  • Parte A (curva inferior): y=x^{2}, com x\in[0,2].
  • Parte B (reta superior): y=x+2, com x\in[0,2].
  • Parte C (aresta vertical): x=0 com y\in[0,2]. (As extremidades x=0,y=0 e x=0,y=2 já aparecem como pontos limites das curvas A e B.)
    Vamos analisar f restrita a cada uma dessas partes (reduzindo para funções de uma variável) e comparar os valores nos extremos e em possíveis pontos críticos dessas funções de uma variável.

Passo 5

Análise da parte B (reta superior) y=x+2, x\in[0,2].
  • Substituir em f:
g_{B}(x)=f(x,x+2)=(x-2)^{2}+(x+2-4)^{2}=(x-2)^{2}+(x-2)^{2}=2(x-2)^{2}.
  • Essa é uma função de uma variável. Derivando:
g_{B}'(x)=4(x-2).
Solução de g_{B}'(x)=0 é x=2, ponto que corresponde a (2,4) — já sabemos é mínimo global (valor zero). Em [0,2] o máximo de g_{B}(x) ocorre em um extremo do intervalo porque a função é quadrática com concavidade positiva. Avaliar nos extremos:
g_{B}(0)=2(0-2)^{2}=2\cdot 4=8,\qquad g_{B}(2)=0.
Portanto, sobre a reta superior o maior valor é 8 em (0,2).

Passo 6

Análise da parte A (curva inferior) y=x^{2}, x\in[0,2].
  • Substituir em f:
g_{A}(x)=f(x,x^{2})=(x-2)^{2}+(x^{2}-4)^{2}.
  • Derivar para encontrar extremos em [0,2]:
    Calcule g_{A}'(x). Usando derivação:
g_{A}'(x)=2(x-2)+2(x^{2}-4)\cdot 2x = 2(x-2)+4x(x^{2}-4).
Simplificando:
g_{A}'(x)=4x^{3}-14x-4.
Procuramos raízes de g_{A}'(x)=0. Dividindo por 2 para simplificar:
2x^{3}-7x-2=0.
Testando x=2:
2\cdot 2^{3}-7\cdot 2-2=16-14-2=0,
logo x=2 é raiz. Fazendo divisão polinomial, o fator restante é 2x^{2}+4x+1, cujas raízes são
x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{4}=\frac{-4\pm 2\sqrt{2}}{4}=\frac{-2\pm\sqrt{2}}{2}.
Essas duas raízes são números negativos (aproximadamente -0,293 e -1,707), portanto fora do intervalo [0,2]. Conclusão: no intervalo x\in[0,2] a única solução de g_{A}'(x)=0 é x=2 (extremo do intervalo). Assim o máximo de g_{A} em [0,2] ocorre em um extremo do intervalo. Avaliar nos extremos:
g_{A}(0)=(0-2)^{2}+(0-4)^{2}=4+16=20,
g_{A}(2)=0.
Portanto, sobre a parábola inferior o maior valor é 20 em (0,0).

Passo 7

Análise da parte C (aresta x=0, y\in[0,2]).
  • Para x=0 temos
h(y)=f(0,y)=(0-2)^{2}+(y-4)^{2}=4+(y-4)^{2},\qquad y\in[0,2].
  • Essa função, para y\in[0,2], é crescente ao nos afastarmos de y=4; o valor máximo em [0,2] ocorre no ponto mais distante de 4, que é y=0. Avaliando:
h(0)=4+(0-4)^{2}=4+16=20,\qquad h(2)=4+(2-4)^{2}=4+4=8.
Esses valores coincidem com os obtidos nos extremos das partes A e B: o ponto (0,0) 20 e (0,2) 8.

Passo 8

Comparar todos os candidatos e concluir:
  • Encontramos um ponto crítico interno (2,4) com f(2,4)=0. Como f\ge0 sempre (soma de quadrados) e o ponto pertence a D, esse é o mínimo global.
  • Nos pontos da fronteira os maiores valores encontrados foram:
    • Em (0,0): f(0,0)=20.
    • Em (0,2): f(0,2)=8.
    • Em (2,4): f(2,4)=0 (já citado).
      Não há nenhum outro ponto com valor maior que 20 nas análises das fronteiras. Logo o máximo global em D é 20 atingido em (0,0).
Comentário final motivador: deu trabalho, mas a ideia é sempre a mesma — verificar pontos críticos interiores (gradiente zero) e depois reduzir para uma variável nas fronteiras. Aqui ajudou muito notar que f é a distância ao ponto (2,4), o que facilita prever que o mínimo será zero se (2,4) estiver no domínio (e estava).

Resposta

Mínimo global: f_{\min}=0 em (2,4)
Máximo global: f_{\max}=20 em (0,0)

Exercícios relacionados