lim x infty(1+1x^2)^2 x

Passo 1

Então, a gente tem um limite para calcular: lim x infty(1+1x^2)^2 x. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites na matemática, especificamente envolvendo exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar propriedades dos limites e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma propriedade importante dos limites envolvendo a função exponencial: limx to infty (1 + kx)^x = e^k. Essa propriedade nos ajuda a lidar com expressões que têm a forma de 1 mais algo pequeno elevado a uma potência grande.

Passo 3

No nosso caso, a expressão dentro do limite é (1 + 1x^2)^2x. Vamos fazer uma pequena modificação para encaixar na propriedade que relembramos. Podemos reescrever a expressão da seguinte maneira:
(1 + 1x^2)^2x = [(1 + 1x^2)^x^2]^2xx^2

Passo 4

Agora, analisamos cada parte dessa expressão. Sabemos que limx to infty (1 + 1x^2)^x^2 = e, pela propriedade que mencionamos. Isso porque quando x tende ao infinito, 1x^2 se torna muito pequeno, e a expressão se aproxima de e.

Passo 5

Em seguida, olhamos para o expoente 2xx^2. Simplificando, temos:
2xx^2 = 2x
Quando x tende ao infinito, 2x tende a 0.

Passo 6

Agora, reunindo tudo, temos:
[limx to infty (1 + 1x^2)^x^2]^limx to infty 2x = e^0 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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