Encontre o ponto da superfície z=x^{2}+x y-y^{2} que possui o plano tangente paralelo a 2 x-y+z=5

Passo 1

O enunciado dá a superfície
z = x^{2} + x\,y - y^{2}
e pede o ponto em que o plano tangente é paralelo ao plano
2x - y + z = 5.
Para que dois planos sejam paralelos, seus vetores normais devem ser proporcionais. No caso da superfície, o vetor normal ao plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) é
\bigl(-f_{x}(x_{0},y_{0}),\,-f_{y}(x_{0},y_{0}),\,1\bigr),
onde f_{x} e f_{y} são as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+x y - y^{2}. Vamos então igualar esse vetor a um múltiplo do vetor normal (2,-1,1).

Passo 2

O vetor normal do plano dado é (2,-1,1). Para paralelismo, existe \lambda\neq0 tal que
\bigl(-f_{x},\,-f_{y},\,1\bigr) =\lambda\,(2,-1,1).
Da componente na direção de z obtemos \,1=\lambda\cdot1, logo \lambda=1. Então
-f_{x}=2 \quad\text{e}\quad -f_{y}=-1
ou seja
f_{x}=-2 \quad\text{e}\quad f_{y}=1.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de \;f(x,y)=x^{2}+x\,y - y^{2}:
f_{x}(x,y)=2x+y, \qquad f_{y}(x,y)=x-2y.

Passo 4

Impondo
2x+y=-2, \qquad x-2y=1,
resolvemos o sistema. Da segunda equação vem x=1+2y. Substituindo na primeira:
2(1+2y)+y=-2 \;\Longrightarrow\; 2+4y+y=-2 \;\Longrightarrow\; 5y=-4 \;\Longrightarrow\; y=-\tfrac{4}{5}.
Logo x=1+2(-\tfrac{4}{5})=1-\tfrac{8}{5}=-\tfrac{3}{5}.

Passo 5

O valor de z no ponto \bigl(x,y\bigr)=(-\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}) é
z = \Bigl(-\tfrac{3}{5}\Bigr)^{2} +\Bigl(-\tfrac{3}{5}\Bigr)\Bigl(-\tfrac{4}{5}\Bigr) -\Bigl(-\tfrac{4}{5}\Bigr)^{2} = \frac{9}{25} + \frac{12}{25} - \frac{16}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}.

Resposta

\bigl(-\tfrac{3}{5},\,-\tfrac{4}{5},\,\tfrac{1}{5}\bigr)

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