Escreva a derivada \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial \hat{u}} para f(x, y)=\frac{e^{x y}}{x^{2}+1} e \hat{u}=(a, b)

Passo 1

O enunciado pede a derivada mista \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial\hat{u}}
onde f(x,y)=\dfrac{e^{x y}}{x^{2}+1} e \hat{u}=(a,b).
Aqui \displaystyle\frac{\partial}{\partial\hat u} é a derivada direcional na direção \hat u, ou seja
\frac{\partial}{\partial\hat u} = a\,\frac{\partial}{\partial x}+b\,\frac{\partial}{\partial y}.
Para obter \frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial\hat{u}}, primeiro calculamos \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}, depois suas derivadas segundas, e por fim montamos
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial\hat{u}} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(a\,f_x + b\,f_y\Bigr) = a\,f_{xx}+b\,f_{xy}.

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas parciais de primeira ordem:
f(x,y)=\frac{e^{xy}}{(x^2+1)},
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{e^{xy}}{x^2+1}\Bigr) = \frac{e^{xy}\bigl[y(x^2+1)-2x\bigr]}{(x^2+1)^2},
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{e^{xy}}{x^2+1}\Bigr) = \frac{x\,e^{xy}}{x^2+1}.

Passo 3

Agora a segunda derivada em x:
Defina g(x,y)=y(x^2+1)-2x e h(x)= (x^2+1)^2, de modo que f_x=e^{xy}\,g/h. Então
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{e^{xy}\,g}{h}\Bigr) = \frac{e^{xy}\Bigl[(y\,g+g')\,h - g\,h'\Bigr]}{h^2}.
Aqui
g'=2yx-2, \quad h'=4x(x^2+1).
Substituindo e simplificando, chega-se a
f_{xx} = \frac{e^{xy}}{(x^2+1)^3}\Bigl[ \bigl(y^2x^2 + y^2 -2\bigr)(x^2+1) -4x\bigl(y(x^2+1)-2x\bigr) \Bigr].

Passo 4

Agora a derivada mista f_{xy}. Partindo de f_x=e^{xy}g/(x^2+1)^2 e diferenciando em y:
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{e^{xy}g}{(x^2+1)^2}\Bigr) = \frac{e^{xy}\bigl[x\,g + (x^2+1)\bigr]}{(x^2+1)^2}.
Substituindo g=y(x^2+1)-2x, obtemos
f_{xy} = \frac{e^{xy}}{(x^2+1)^2}\bigl[x\,y(x^2+1)-2x^2 + (x^2+1)\bigr] = \frac{e^{xy}}{(x^2+1)^2}\bigl[xy(x^2+1)-x^2+1\bigr].

Passo 5

Finalmente, a derivada mista dirigida é
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial\hat{u}} = a\,f_{xx} \;+\; b\,f_{xy}.
Substituindo f_{xx} e f_{xy} achados:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial\hat{u}} = a\;\frac{e^{xy}}{(x^2+1)^3}\Bigl[ (y^2x^2 + y^2 -2)(x^2+1) -4x\bigl(y(x^2+1)-2x\bigr) \Bigr] \;+\; b\;\frac{e^{xy}}{(x^2+1)^2}\bigl[xy(x^2+1)-x^2+1\bigr].

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial\hat{u}} = a\;\frac{e^{xy}}{(x^2+1)^3}\Bigl[ (y^2x^2 + y^2 -2)(x^2+1) -4x\bigl(y(x^2+1)-2x\bigr) \Bigr] \;+\; b\;\frac{e^{xy}}{(x^2+1)^2}\bigl[xy(x^2+1)-x^2+1\bigr].

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