Escreva a derivada
para
e
Passo 1
O enunciado pede a derivada mista
onde e
.
Aqui é a derivada direcional na direção
, ou seja
onde
Aqui
Para obter
, primeiro calculamos
e
, depois suas derivadas segundas, e por fim montamos
Passo 2
Calculamos primeiro as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 3
Agora a segunda derivada em
:
Defina
e
, de modo que
. Então
Aqui
Substituindo e simplificando, chega-se a
Passo 4
Agora a derivada mista
. Partindo de
e diferenciando em
:
Substituindo
, obtemos
Passo 5
Finalmente, a derivada mista dirigida é
Substituindo
e
achados: