Encontre os extremos relativos da função, classificando-os como máximo ou mínimo local, ou nenhum dos dois.
f(x)=(3-x)^{7}+8

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre os extremos relativos da função, classificando-os como máximo ou mínimo local, ou nenhum dos dois.” A função dada é f(x)=(3-x)^{7}+8.
Informações relevantes:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Para encontrar extremos relativos precisamos achar pontos críticos, isto é, pontos onde f'(x)=0 ou onde f'(x) não existe.
  • Depois de achar pontos críticos, devemos classificá-los (máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois).

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira f'(x). Para isso usamos a regra da cadeia: se h(u)=u^{7} e u(x)=3-x, então
\frac{d}{dx}h(u(x))=h'(u(x))\cdot u'(x).
Aqui h'(u)=7u^{6} e u'(x)=\dfrac{d}{dx}(3-x)=-1. Portanto
f'(x)=7(3-x)^{6}\cdot(-1)=-7(3-x)^{6}.

Passo 3

Encontrar pontos críticos resolvendo f'(x)=0 (ou onde f' não existe). A derivada f'(x)=-7(3-x)^{6} existe para todo x, então só precisamos resolver
-7(3-x)^{6}=0.
Dividindo ambos os lados por -7 (constante diferente de zero) obtemos
(3-x)^{6}=0 \quad\Rightarrow\quad 3-x=0 \quad\Rightarrow\quad x=3.
Logo o único ponto crítico é x=3.

Passo 4

Tentativa com o teste da segunda derivada. Calculamos f''(x) diferenciando f'(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-7(3-x)^{6}\bigr)=-7\cdot 6(3-x)^{5}\cdot(-1)=42(3-x)^{5}.
Avalia-se f'' em x=3:
f''(3)=42(3-3)^{5}=42\cdot 0^{5}=0.
Como f''(3)=0, o teste da segunda derivada é inconclusivo: não nos diz se há máximo, mínimo ou nenhum.

Passo 5

Usar análise do sinal de f'(x) para classificar o ponto crítico (método seguro quando f'' é zero). Observe que (3-x)^{6} é sempre não negativo e é igual a zero apenas em x=3. Assim, para todo x\neq3 temos (3-x)^{6}>0 e, então,
f'(x)=-7(3-x)^{6}<0\quad\text{para todo }x\neq3.
Portanto a derivada é negativa à esquerda e à direita de x=3 (sempre negativa exceto no próprio x=3, onde é zero). Isso significa que a função é estritamente decrescente em todo intervalo que não contenha pontos singulares, e em particular está decrescendo antes e depois de x=3. Assim x=3 não pode ser um máximo local (não há subida antes e descida depois) nem um mínimo local (não há descida antes e subida depois).
Como ilustração numérica rápida, tomando x=2,9 e x=3,1:
f(2,9)=(3-2,9)^{7}+8=(0,1)^{7}+8=10^{-7}+8>8,
f(3,1)=(3-3,1)^{7}+8=(-0,1)^{7}+8=-10^{-7}+8<8.
Logo f(2,9)>f(3)>f(3,1), confirmando que a função continua a decrescer passando por x=3.

Passo 6

Comentário sobre concavidade e natureza do ponto crítico: como f''(x)=42(3-x)^{5}, para x<3 temos 3-x>0 e então f''(x)>0 (a função é côncava para cima à esquerda de 3); para x>3 temos 3-x<0 e f''(x)<0 (côncava para baixo à direita de 3). Assim a concavidade troca de sinal em x=3, o que caracteriza um ponto de inflexão. Como a tangente aí é horizontal ( f'(3)=0), esse ponto é um ponto de inflexão horizontal.

Resposta

Não há extremos relativos. O único ponto crítico é x=3, que não é máximo nem mínimo (é um ponto de inflexão horizontal) com f(3)=8.

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