Encontre os extremos relativos da função, classificando-os como máximo ou mínimo local, ou nenhum dos dois.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre os extremos relativos da função, classificando-os como máximo ou mínimo local, ou nenhum dos dois.” A função dada é
.
Informações relevantes:
- A função está definida para todo
. - Para encontrar extremos relativos precisamos achar pontos críticos, isto é, pontos onde
ou onde não existe. - Depois de achar pontos críticos, devemos classificá-los (máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois).
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira
. Para isso usamos a regra da cadeia: se
e
, então
Aqui
e
. Portanto
Passo 3
Encontrar pontos críticos resolvendo
(ou onde
não existe). A derivada
existe para todo
, então só precisamos resolver
Dividindo ambos os lados por
(constante diferente de zero) obtemos
Logo o único ponto crítico é
.
Passo 4
Tentativa com o teste da segunda derivada. Calculamos
diferenciando
:
Avalia-se
em
:
Como
, o teste da segunda derivada é inconclusivo: não nos diz se há máximo, mínimo ou nenhum.
Passo 5
Usar análise do sinal de
para classificar o ponto crítico (método seguro quando
é zero). Observe que
é sempre não negativo e é igual a zero apenas em
. Assim, para todo
temos
e, então,
Portanto a derivada é negativa à esquerda e à direita de
(sempre negativa exceto no próprio
, onde é zero). Isso significa que a função é estritamente decrescente em todo intervalo que não contenha pontos singulares, e em particular está decrescendo antes e depois de
. Assim
não pode ser um máximo local (não há subida antes e descida depois) nem um mínimo local (não há descida antes e subida depois).
Como ilustração numérica rápida, tomando
e
:
Logo
, confirmando que a função continua a decrescer passando por
.
Passo 6
Comentário sobre concavidade e natureza do ponto crítico: como
, para
temos
e então
(a função é côncava para cima à esquerda de
); para
temos
e
(côncava para baixo à direita de
). Assim a concavidade troca de sinal em
, o que caracteriza um ponto de inflexão. Como a tangente aí é horizontal (
), esse ponto é um ponto de inflexão horizontal.
Resposta
Não há extremos relativos. O único ponto crítico é
, que não é máximo nem mínimo (é um ponto de inflexão horizontal) com
.