Encontre a aproximação linear local (polinômio de Taylor de ordem 1), L(x), da função f(x) no ponto x_{0} dado.
f(x)=(1+x)^{15}, x_{0}=0

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=(1+x)^{15} e o ponto x_{0}=0. A tarefa é encontrar a aproximação linear local (polinômio de Taylor de ordem 1) L(x) em torno de x_{0}. Em outras palavras, queremos a reta tangente à curva y=f(x) no ponto x=x_{0}, que serve como aproximação de f perto desse ponto.

Passo 2

Apresentar a fórmula da aproximação linear (polinômio de Taylor de ordem 1) e explicar cada termo.
A fórmula geral da aproximação linear de f em torno de x_{0} é
L(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\,(x-x_{0}).
Explicando cada termo:
  • f(x_{0}) é o valor da função no ponto de aproximação — é o ponto onde a reta toca a curva.
  • f'(x_{0}) é a derivada de f em x_{0} — é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente naquele ponto.
  • (x-x_{0}) é a diferença entre o ponto onde se quer aproximar e o ponto de tangência; a combinação f'(x_{0})(x-x_{0}) dá o quanto a reta se afasta verticalmente de f(x_{0}) quando x varia.

Passo 3

Calcular f(x_{0}). Substituindo x_{0}=0 em f:
f(0)=(1+0)^{15}=1^{15}=1.

Passo 4

Calcular a derivada f'(x). Usamos a regra de potência aplicada à função composta u(x)=1+x com f(x)=u(x)^{15}. A regra diz que se g(x)=u(x)^{n} então g'(x)=n\,u(x)^{n-1}\,u'(x). Aqui u'(x)=1. Portanto
f'(x)=15(1+x)^{14}.

Passo 5

Avaliar f'(x) em x_{0}=0:
f'(0)=15(1+0)^{14}=15\cdot1^{14}=15.

Passo 6

Montar a aproximação linear usando a fórmula do Passo 2:
L(x)=f(0)+f'(0)\,(x-0)=1+15x.
Isto significa que, para x perto de 0, pode-se aproximar (1+x)^{15} por 1+15x. Exemplo prático: para x=0{,}01,
(1+0{,}01)^{15}\approx 1+15\cdot0{,}01=1{,}15,
o que dá uma estimativa rápida sem calcular potências.

Resposta

L(x)=1+15x

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