Encontre a aproximação linear local (polinômio de Taylor de ordem 1),
, da função
no ponto
dado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. A tarefa é encontrar a aproximação linear local (polinômio de Taylor de ordem 1)
em torno de
. Em outras palavras, queremos a reta tangente à curva
no ponto
, que serve como aproximação de
perto desse ponto.
Passo 2
Apresentar a fórmula da aproximação linear (polinômio de Taylor de ordem 1) e explicar cada termo.
A fórmula geral da aproximação linear de
em torno de
é
Explicando cada termo:
-
é o valor da função no ponto de aproximação — é o ponto onde a reta toca a curva. -
é a derivada de em — é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente naquele ponto. -
é a diferença entre o ponto onde se quer aproximar e o ponto de tangência; a combinação dá o quanto a reta se afasta verticalmente de quando varia.
Passo 3
Calcular
. Substituindo
em
:
Passo 4
Calcular a derivada
. Usamos a regra de potência aplicada à função composta
com
. A regra diz que se
então
. Aqui
. Portanto
Passo 5
Avaliar
em
:
Passo 6
Montar a aproximação linear usando a fórmula do Passo 2:
Isto significa que, para
perto de
, pode-se aproximar
por
. Exemplo prático: para
,
o que dá uma estimativa rápida sem calcular potências.