Encontre a aproximação linear local (polinômio de Taylor de ordem 1),
, da função
no ponto
dado.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a aproximação linear local (polinômio de Taylor de ordem 1)
da função
no ponto
.
Informações dadas:
- A função é
- O ponto onde queremos a aproximação é
- O que se pede é o polinômio de Taylor de ordem 1 (linearização) em
.
Passo 2
O que é a aproximação linear (linearização) e qual fórmula usar.
- A aproximação linear de uma função
em torno de um ponto é o polinômio de Taylor de ordem 1:
- Aqui:
-
é a reta que aproxima perto de . -
é o valor da função no ponto de tangência. -
é a derivada da função no ponto — a inclinação da reta. -
é o deslocamento em relação ao ponto onde aproximamos.
-
- Intuição rápida: aproximar
por sua reta tangente em ; essa reta tem a mesma altura e a mesma inclinação que em .
Passo 3
Calcular
passo a passo.
- Reescrevendo
- Usamos a regra da cadeia: se
então . Aqui . - Aplicando com
:
- Os dois sinais negativos se cancelam, ficando
Passo 4
Avaliar
e
em
.
- Calcular
:
- Calcular
:
Passo 5
Substituir na fórmula da aproximação linear e simplificar (passo a passo).
- A fórmula é
- Com
, e :
- Simplificando:
Passo 6
Explicação final curta e dica para a prova.
- Resultado obtido: a reta tangente em
é . Para aproximar perto de , calcule . - Dica prática: em qualquer exercício parecido, sempre faça: (i) reescrever
, (ii) calcular por cadeia/derivação normal, (iii) avaliar em , (iv) aplicar . Isso funciona para qualquer ponto e qualquer função diferenciável.