Encontre a aproximação linear local (polinômio de Taylor de ordem 1), L(x), da função f(x) no ponto x_{0} dado.
f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}, x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a aproximação linear local (polinômio de Taylor de ordem 1) L(x) da função \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}} no ponto x_{0}=0.
Informações dadas:
  • A função é \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}.
  • O ponto onde queremos a aproximação é x_{0}=0.
  • O que se pede é o polinômio de Taylor de ordem 1 (linearização) em x_{0}.

Passo 2

O que é a aproximação linear (linearização) e qual fórmula usar.
  • A aproximação linear de uma função f em torno de um ponto x_{0} é o polinômio de Taylor de ordem 1:
L(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\,(x-x_{0}).
  • Aqui:
    • L(x) é a reta que aproxima f perto de x_{0}.
    • f(x_{0}) é o valor da função no ponto de tangência.
    • f'(x_{0}) é a derivada da função no ponto — a inclinação da reta.
    • (x-x_{0}) é o deslocamento em relação ao ponto onde aproximamos.
  • Intuição rápida: aproximar f por sua reta tangente em x_{0}; essa reta tem a mesma altura e a mesma inclinação que f em x_{0}.

Passo 3

Calcular f'(x) passo a passo.
  • Reescrevendo \displaystyle f(x)=(1-x)^{-1/2}.
  • Usamos a regra da cadeia: se g(x)=(1-x)^{n} então g'(x)=n(1-x)^{n-1}\cdot(1-x)'. Aqui (1-x)'=-1.
  • Aplicando com n=-\tfrac{1}{2}:
f'(x)= -\tfrac{1}{2}(1-x)^{-3/2}\cdot(-1).
  • Os dois sinais negativos se cancelam, ficando
f'(x)=\tfrac{1}{2}(1-x)^{-3/2}.

Passo 4

Avaliar f(x_{0}) e f'(x_{0}) em x_{0}=0.
  • Calcular f(0):
f(0)= (1-0)^{-1/2}=1.
  • Calcular f'(0):
f'(0)=\tfrac{1}{2}(1-0)^{-3/2}=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Substituir na fórmula da aproximação linear e simplificar (passo a passo).
  • A fórmula é
L(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\,(x-x_{0}).
  • Com x_{0}=0, f(0)=1 e f'(0)=\tfrac{1}{2}:
L(x)=1+\tfrac{1}{2}\,(x-0).
  • Simplificando:
L(x)=1+\tfrac{1}{2}x.

Passo 6

Explicação final curta e dica para a prova.
  • Resultado obtido: a reta tangente em x=0 é L(x)=1+\tfrac{1}{2}x. Para aproximar f(x) perto de 0, calcule 1+\tfrac{1}{2}x.
  • Dica prática: em qualquer exercício parecido, sempre faça: (i) reescrever f, (ii) calcular f'(x) por cadeia/derivação normal, (iii) avaliar em x_{0}, (iv) aplicar L(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}). Isso funciona para qualquer ponto e qualquer função diferenciável.

Resposta

L(x)=1+\tfrac{1}{2}x

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