Encontre os extremos relativos da função f.
f(x)=sen 2 x, 0<x<pi

Passo 1

O enunciado pede os extremos relativos de f(x)=sen(2x) no intervalo aberto 0<x<pi. Para isso, vamos usar o teste da primeira derivada para encontrar os pontos críticos e o teste da segunda derivada para classificar cada ponto como mínimo ou máximo.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=ddxl(sen(2x)r)=2cos(2x)
Igualando a zero para achar pontos críticos:
2cos(2x)=0 Longrightarrow cos(2x)=0 Longrightarrow 2x=pi2+kpi,;kinZ
Logo
x=pi4+kpi2
No intervalo 0<x<pi cabem apenas k=0 e k=1, dando
x=pi4 e x=3pi4

Passo 3

Agora usamos a segunda derivada para classificar:
f''(x)=ddxl(2cos(2x)r)=-4sen(2x)
Em x=pi4 temos sen(2x)=senl(tfracpi2r)=1, logo
f''l(tfracpi4r)=-4cdot1=-4<0,
o que indica máximo local.
Em x=3pi4 temos sen(2x)=senl(tfrac3pi2r)=-1, logo
f''l(tfrac3pi4r)=-4cdot(-1)=4>0,
o que indica mínimo local.

Passo 4

Calculamos os valores de f nesses pontos:
fl(tfracpi4r)=senl(tfracpi2r)=1, fl(tfrac3pi4r)=senl(tfrac3pi2r)=-1

Resposta

Máximo relativo em l(tfracpi4,1r).
Mínimo relativo em l(tfrac3pi4,-1r).

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