Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico:
Passo 1
O enunciado nos dá a função de duas variáveis
com a restrição
, e pede duas coisas:
– desenhar algumas curvas de nível, ou seja, os conjuntos
para valores específicos de
;
– esboçar o gráfico da superfície no espaço
, limitado em
entre
e
.
– desenhar algumas curvas de nível, ou seja, os conjuntos
– esboçar o gráfico da superfície
O conteúdo aqui é reconhecimento de curvas de nível e esboço de superfícies em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Para achar as curvas de nível, fixamos um valor
e resolvemos
em função de
. Isso dá
Como
não aparece na equação, para cada
a curva de nível é composta por duas retas verticais em
e
, com
variando livremente em
.
Passo 3
Vamos esboçar algumas curvas de nível típicas:
– Para :
.
– Para :
e
.
– Para :
e
.
– Para
– Para
– Para
No plano
, cada uma dessas é uma reta vertical, sempre com
.
Passo 4
Para esboçar o gráfico da superfície em
:
– Em qualquer reta paralela ao eixo (isto é, fixando
), vemos uma parábola
constante em
.
– Então a superfície é um cilindro parabólico que abre para cima no eixo , estendendo-se entre
e
.
– Em cortes , obtemos sempre a mesma curva
.
– Em qualquer reta paralela ao eixo
– Então a superfície é um cilindro parabólico que abre para cima no eixo
– Em cortes
Resposta
Curvas de nível no plano
: para cada
,
Superfície em
: um cilindro parabólico
estendido ao longo de
de
a
.