Resolva o sistema de Equações Diferenciais usando método dos autovalores e autovetores.
l x^prime(t)=x-y y^prime(t)=x+3 y ( Valor =2,5)

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método dos autovalores e autovetores, o sistema linear
O conteúdo é solução de sistemas lineares homogêneos por diagonalização (ou forma de Jordan, se necessário). Vamos escrever em forma matricial e buscar autovalores e autovetores de
]

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det1-lambda & -1[3pt]1 & 3-lambda =(1-lambda)(3-lambda)+1 =lambda^2-4lambda+4
Igualando a zero, obtemos
lambda^2-4lambda+4=0 ;Longrightarrow; (lambda-2)^2=0 ;Longrightarrow; lambda=2(mu<iplicidade algébrica 2) é
]

Passo 3

Encontrar o autovetor associado a resolvendo :
Uma escolha conveniente é
(com dimensão do espaço próprio igual a ).
]

Passo 4

Como a multiplicidade geométrica é (menor que a algébrica ), precisamos de um vetor generalizado que satisfaça
Escrevendo de novo, temos
As duas linhas dão a mesma equação . Uma escolha simples é

Passo 5

Para um autovalor de multiplicidade 2 com apenas um autovetor, a solução geral é da forma
x(t) =C1,e^2tv +C2,e^2tl(t,v + wr)
Substituindo v e w, obtemos
x(t) =C1,e^2t1-1 +C2,e^2t!!(t1-1 +0-1)

Passo 6

Escrevendo as componentes x(t) e y(t):
x(t)=e^2tl(C1 + C2,tr), y(t)=e^2tl(-C1 - C2,t - C2r)

Resposta

x(t)=e^2tl(C1 + C2,tr), y(t)=e^2tl(-C1 - C2,t - C2r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados