Resolva o sistema de Equações Diferenciais usando método dos autovalores e autovetores.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, pelo método dos autovalores e autovetores, o sistema linear
O conteúdo é solução de sistemas lineares homogêneos por diagonalização (ou forma de Jordan, se necessário). Vamos escrever em forma matricial e buscar autovalores e autovetores de
]
Passo 2
Calcular o polinômio característico de
:
Igualando a zero, obtemos
]
Passo 3
Encontrar o autovetor associado a
resolvendo
:
Uma escolha conveniente é
(com dimensão do espaço próprio igual a
).
]
]
Passo 4
Como a multiplicidade geométrica é
(menor que a algébrica
), precisamos de um vetor generalizado
que satisfaça
Escrevendo
de novo, temos
As duas linhas dão a mesma equação
. Uma escolha simples é
Passo 5
Para um autovalor de multiplicidade
com apenas um autovetor, a solução geral é da forma
Substituindo
e
, obtemos
Passo 6
Escrevendo as componentes
e
:
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.