Encontre os extremos relativos da função f.
f(x)=x^2(x+1)^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos relativos da função
f(x)=x^2(x+1)^3
Conteúdo: cálculo de derivadas, pontos críticos e teste da primeira derivada para classificar máximos e mínimos locais.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f usando a regra do produto em f(x)=x^2cdot (x+1)^3. Temos
f'(x)=2x,(x+1)^3+x^2cdot 3,(x+1)^2
Fatorando x e (x+1)^2,
f'(x)=x,(x+1)^2l[2,(x+1)+3xr] =x,(x+1)^2(2x+2+3x) =x,(x+1)^2(5x+2)

Passo 3

Determinamos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
x=0, x=-1, 5x+2=0implies x=-tfrac25
Calculamos os valores de f nesses pontos:
f(0)=0^2,(0+1)^3=0, f(-1)=(-1)^2,0^3=0,
fl(-tfrac25r) =l(-tfrac25r)^2l(tfrac35r)^3 =425cdot27125 =1083125

Passo 4

Usamos o sinal de f'(x)=x,(x+1)^2(5x+2). Como (x+1)^2>=0 não muda sinal, o sinal de f' vem de x e de 5x+2:
  • Para x<-tfrac25: x<0 e 5x+2<0 Rightarrow f'>0.
  • Para -tfrac25<x<0: x<0 e 5x+2>0 Rightarrow f'<0.
  • Para x>0: x>0 e 5x+2>0 Rightarrow f'>0.
    Em x=-1 há raiz de multiplicidade par em (x+1)^2, mas f' permanece positivo antes e depois, logo não há extremo ali.
    Assim, em x=-tfrac25 a derivada muda de positiva para negativa (máximo local) e em x=0 muda de negativa para positiva (mínimo local).

Resposta

Máximo relativo em
l(-tfrac25,,tfrac1083125r)
Mínimo relativo em
(0,,0)

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