Encontre os extremos relativos da função, os intervalos onde função é crescente, decrescente, os pontos de inflexão e os intervalos onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo e faça um esboço do gráfico:
f(x)=x^3-3 x^2+7 x-3

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^3-3x^2+7x-3
e pede os extremos relativos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, intervalos de concavidade e um esboço do gráfico. Vamos usar a derivada para monotonia e extremos, e a segunda derivada para concavidade e inflexão.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada da função:
f'(x)=ddxl(x^3-3x^2+7x-3r) =3x^2-6x+7
Para achar possíveis extremos, resolveríamos f'(x)=0; o discriminante é
De<a =(-6)^2-4cdot3cdot7=36-84=-48<0,
logo não há raízes reais.

Passo 3

Como f'(x)=3x^2-6x+7 é sempre positiva (por ter De<a<0 e coeficiente principal 3>0), concluímos que
f é estritamente crescente em R,
– não existem pontos em que f'(x)=0,
– portanto não há extremos relativos.

Passo 4

Agora a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(3x^2-6x+7r)=6x-6
Para pontos de inflexão, resolvemos f''(x)=0, obtendo x=1.

Passo 5

Analisando o sinal de f''(x):
– para x<1, f''(x)=6x-6<0, a curva é côncava para baixo;
– para x>1, f''(x)=6x-6>0, a curva é côncava para cima.
No ponto x=1 temos inflexão e
f(1)=1^3-3cdot1^2+7cdot1-3=1-3+7-3=2

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico de f:
  • À esquerda tende a -infty, à direita tende a +infty.
  • Passa por (0,-3), por (1,2) (inflexão) e por exemplo por (2,7).
  • É sempre crescente, muda de concavidade no ponto (1,2), mostrando um “S” suave.

Resposta

  • Extremos relativos: não há.
  • Intervalo de crescimento: (-infty,infty).
  • Intervalo de decrescimento: nenhum.
  • Ponto de inflexão: l(1,2r).
  • Concavidade para baixo: (-infty,1).
  • Concavidade para cima: (1,infty).
  • Esboço do gráfico: curva estritamente crescente com inflexão em (1,2), conforme descrito.

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