Encontre os extremos relativos da função, os intervalos onde função é crescente, decrescente, os pontos de inflexão e os intervalos onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os extremos relativos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, intervalos de concavidade e um esboço do gráfico. Vamos usar a derivada para monotonia e extremos, e a segunda derivada para concavidade e inflexão.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada da função:
Para achar possíveis extremos, resolveríamos
; o discriminante é
logo não há raízes reais.
Passo 3
Como
é sempre positiva (por ter
e coeficiente principal
), concluímos que
– é estritamente crescente em
,
– não existem pontos em que ,
– portanto não há extremos relativos.
–
– não existem pontos em que
– portanto não há extremos relativos.
Passo 4
Agora a segunda derivada:
Para pontos de inflexão, resolvemos
, obtendo
.
Passo 5
Analisando o sinal de
:
– para ,
, a curva é côncava para baixo;
– para ,
, a curva é côncava para cima.
No ponto temos inflexão e
– para
– para
No ponto
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico de
:
- À esquerda tende a
, à direita tende a . - Passa por
, por (inflexão) e por exemplo por . - É sempre crescente, muda de concavidade no ponto
, mostrando um “S” suave.
Resposta
- Extremos relativos: não há.
- Intervalo de crescimento:
. - Intervalo de decrescimento: nenhum.
- Ponto de inflexão:
. - Concavidade para baixo:
. - Concavidade para cima:
. - Esboço do gráfico: curva estritamente crescente com inflexão em
, conforme descrito.