Encontre os extremos relativos da função, os intervalos onde função é crescente, decrescente, os pontos de inflexão e os intervalos onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo e faça um esboço do gráfico:
f(x)=x^4-8 x^3

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=x^4-8x^3
determinar
– os extremos relativos,
– os intervalos de crescimento e decrescimento,
– os pontos de inflexão,
– os intervalos de concavidade (para cima e para baixo),
– e ainda esboçar o gráfico.
Para isso usaremos f'(x) para monotonicidade e extremos, e f''(x) para concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=ddxl(x^4-8x^3r) =4x^3-24x^2 =4x^2(x-6)
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, logo
4x^2(x-6)=0 Longrightarrow x=0(mu<2),; x=6

Passo 3

Estudamos o sinal de f'(x) em cada intervalo:
– Em (-infty,0): escolhemos x=-1, então f'(-1)=4cdot1cdot(-7)<0.
– Em (0,6): escolhemos x=1, então f'(1)=4cdot1cdot(-5)<0.
– Em (6,infty): escolhemos x=7, então f'(7)=4cdot49cdot1>0.
Conclusão:
!f'!<0 em (-infty,6) e !f'!>0 em (6,infty).
Como em x=0 o sinal não muda, não há extremo aí; em x=6 muda de decrescente para crescente, logo há mínimo local em x=6.
O valor é
f(6)=6^4-8cdot6^3 =1296-1728=-432

Passo 4

Calculamos a derivada segunda:
f''(x)=ddxl(4x^3-24x^2r) =12x^2-48x =12x(x-4)
Resolvendo f''(x)=0 x=0 e x=4. Testando concavidade:
– Em (-infty,0): escolhemos x=-1, f''(-1)=12cdot(-1)cdot(-5)>0 ⇒ côncava para cima.
– Em (0,4): escolhemos x=2, f''(2)=12cdot2cdot(-2)<0 ⇒ côncava para baixo.
– Em (4,infty): escolhemos x=5, f''(5)=12cdot5cdot1>0 ⇒ côncava para cima.
Logo há pontos de inflexão em x=0 e x=4. Seus valores:
f(0)=0, f(4)=4^4-8cdot4^3=256-512=-256

Passo 5

Esboço do gráfico, marcando os pontos principais:
                          f(x)
                            ↑
                            |
          concava ↑        |
                 /         |
               /           |
              ●(0,0) inflex |
             /             |
            /              |
concava ↓ / |
/ |
/ |
/ |
●(4,-256) inflex |
/ |
/ |
/ |
/ |
●(6,-432) mínimo |
/ |
───/────────────────────────────┼──→ x
/ decrescente até 6, depois cresce

Resposta

Local mínimo em x=6 com f(6)=-432.
Não há máximo relativo.
f é decrescente em (-infty,6) e crescente em (6,infty).
Pontos de inflexão em (0,0) e (4,-256).
f é côncava para cima em (-infty,0)cup(4,infty) e côncava para baixo em (0,4).

Exercícios relacionados