Encontre os extremos relativos da função, os intervalos onde função é crescente, decrescente, os pontos de inflexão e os intervalos onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar
– os extremos relativos,
– os intervalos de crescimento e decrescimento,
– os pontos de inflexão,
– os intervalos de concavidade (para cima e para baixo),
– e ainda esboçar o gráfico.
Para isso usaremos para monotonicidade e extremos, e
para concavidade e pontos de inflexão.
– os extremos relativos,
– os intervalos de crescimento e decrescimento,
– os pontos de inflexão,
– os intervalos de concavidade (para cima e para baixo),
– e ainda esboçar o gráfico.
Para isso usaremos
Passo 2
Calculamos a derivada primeira:
Os pontos críticos vêm de
, logo
Passo 3
Estudamos o sinal de
em cada intervalo:
– Em : escolhemos
, então
.
– Em : escolhemos
, então
.
– Em : escolhemos
, então
.
Conclusão:
em
e
em
.
Como em o sinal não muda, não há extremo aí; em
muda de decrescente para crescente, logo há mínimo local em
.
O valor é
– Em
– Em
– Em
Conclusão:
Como em
O valor é
Passo 4
Calculamos a derivada segunda:
Resolvendo
dá
e
. Testando concavidade:
– Em : escolhemos
,
⇒ côncava para cima.
– Em : escolhemos
,
⇒ côncava para baixo.
– Em : escolhemos
,
⇒ côncava para cima.
Logo há pontos de inflexão em e
. Seus valores:
– Em
– Em
– Em
Logo há pontos de inflexão em
Passo 5
Esboço do gráfico, marcando os pontos principais:
f(x)
↑
|
concava ↑ |
/ |
/ |
●(0,0) inflex |
/ |
/ |
concava ↓ / |
/ |
/ |
/ |
●(4,-256) inflex |
/ |
/ |
/ |
/ |
●(6,-432) mínimo |
/ |
───/────────────────────────────┼──→ x
/ decrescente até 6, depois cresce
/ |
/ |
/ |
●(4,-256) inflex |
/ |
/ |
/ |
/ |
●(6,-432) mínimo |
/ |
───/────────────────────────────┼──→ x
/ decrescente até 6, depois cresce
Resposta
Local mínimo em
com
.
Não há máximo relativo.
é decrescente em
e crescente em
.
Pontos de inflexão em e
.
é côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
Não há máximo relativo.
Pontos de inflexão em