[G] Encontre os extremos relativos da função, os intervalos onde função é crescente, decrescente, os pontos de inflexão e os intervalos onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo e faça um esboço do gráfico:
f(x)=x^4-2 x^2+1

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=x^4-2x^2+1
encontrar seus extremos relativos, intervalos de crescimento e decréscimo, pontos de inflexão, intervalos de concavidade e ainda fazer um esboço do gráfico. Para isso vamos usar derivadas de primeira ordem para monotonicidade e extremos, e derivada de segunda ordem para concavidade e inflexão.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira:
f'(x)=ddxl(x^4-2x^2+1r)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)
As possíveis raízes de f'(x)=0 são
x=-1, x=0, x=1

Passo 3

Estudando o sinal de f'(x) nos intervalos determinados por -1,0,1:
  • Para x<-1, escolha x=-2: f'(-2)=4(-2)[(-2)^2-1]=-24<0; to decrescente.
  • Para -1<x<0, escolha x=-tfrac12: f'(-tfrac12)=4(-tfrac12)[(tfrac14)-1]>0; to crescente.
  • Para 0<x<1, escolha x=tfrac12: f'(tfrac12)=4(tfrac12)[(tfrac14)-1]<0; to decrescente.
  • Para x>1, escolha x=2: f'(2)=4cdot2(4-1)=24>0; to crescente.
Logo
  • crescentes em ( -1,0)cup(1,infty),
  • decrescentes em (- infty,-1)cup(0,1).
Pelos sinais de f', em x=-1 e x=1 o f' muda de negativo para positivo (mínimos locais) e em x=0 de positivo para negativo (máximo local). Os valores são
f(-1)=(-1)^4-2(-1)^2+1=0, f(0)=1, f(1)=0

Passo 4

Calculemos a derivada segunda:
f''(x)=ddxl(4x^3-4xr)=12x^2-4
As raízes de f''(x)=0 são
12x^2-4=0;Rightarrow;x^2=tfrac13;Rightarrow;x=pmtfrac1raiz3

Passo 5

Estudando o sinal de f''(x):
  • Para |x|<tfrac1raiz3, temos 12x^2-4<0; to côncava para baixo.
  • Para |x|>tfrac1raiz3, temos 12x^2-4>0; to côncava para cima.
Os pontos de inflexão ocorrem em x=pmtfrac1raiz3, com
f!l(pmtfrac1raiz3r)=l(tfrac1raiz3r)^4-2l(tfrac1raiz3r)^2+1 =tfrac19-tfrac23+1=tfrac49

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Função par, cresce para +infty em ambas as pontas.
  • Mínimos locais em (-1,0) e (1,0).
  • Máximo local em (0,1).
  • Pontos de inflexão em l(pmtfrac1raiz3,tfrac49r).
  • Forma de “W” suave, concavidade muda em pmtfrac1raiz3.

Resposta

Extremos relativos
mínimos em (-1,0) e (1,0), máximo em (0,1).
Intervalos de crescimento
( -1,0)cup(1,infty).
Intervalos de decréscimo
(-infty,-1)cup(0,1).
Pontos de inflexão
l(-tfrac1raiz3,tfrac49r) e l(tfrac1raiz3,tfrac49r).
Concavidade para cima
(-infty,-tfrac1raiz3)cup(tfrac1raiz3,infty).
Concavidade para baixo
(-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3).

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