Encontre os extremos relativos da função, os intervalos onde função é crescente, decrescente, os pontos de inflexão e os intervalos onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
O enunciado pede para a função
encontrar seus extremos relativos, intervalos de crescimento e decréscimo, pontos de inflexão, intervalos de concavidade e ainda fazer um esboço do gráfico. Para isso vamos usar derivadas de primeira ordem para monotonicidade e extremos, e derivada de segunda ordem para concavidade e inflexão.
Passo 2
Calculemos a derivada primeira:
As possíveis raízes de
são
Passo 3
Estudando o sinal de
nos intervalos determinados por
:
- Para
, escolha : ; decrescente. - Para
, escolha : ; crescente. - Para
, escolha : ; decrescente. - Para
, escolha : ; crescente.
Logo
- crescentes em
, - decrescentes em
.
Pelos sinais de
, em
e
o
muda de negativo para positivo (mínimos locais) e em
de positivo para negativo (máximo local). Os valores são
Passo 4
Calculemos a derivada segunda:
As raízes de
são
Passo 5
Estudando o sinal de
:
- Para
, temos ; côncava para baixo. - Para
, temos ; côncava para cima.
Os pontos de inflexão ocorrem em
, com
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico:
- Função par, cresce para
em ambas as pontas. - Mínimos locais em
e . - Máximo local em
. - Pontos de inflexão em
. - Forma de “W” suave, concavidade muda em
.
Resposta
Extremos relativos
mínimos em e
, máximo em
.
mínimos em
Intervalos de crescimento
.
Intervalos de decréscimo
.
Pontos de inflexão
e
.
Concavidade para cima
.
Concavidade para baixo
.