Encontre os extremos relativos da função, os intervalos onde função é crescente, decrescente, os pontos de inflexão, os intervalos onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo, as assíntotas horizontais, as assíntotas verticais e faça um esboço do gráfico:
f(x)=x+2x^2+x-3-1

Passo 1

O enunciado pede análise completa da função
f(x)=x+2x^2+x-3-1
Isso envolve domínio, assíntotas verticais e horizontais, derivadas primeira e segunda para achar monotonicidade, extremos relativos, concavidade e pontos de inflexão, e por fim um esboço do gráfico. Vamos usar cálculo de derivadas de funções racionais e análise de sinais.

Passo 2

Domínio: x^2+x-3neq0 Rightarrow
x=-1pmraiz1+122=-1pmraiz132approx-2,3028,;1,3028
Logo
Dom(f)=Rsetminusltfrac-1-raiz132,;tfrac-1+raiz132r,
e há assíntotas verticais em
x=-1-raiz132, x=-1+raiz132
Reescrevendo
f(x)=x+2x^2+x-3-1 =x+2-(x^2+x-3)x^2+x-3 =-x^2+5x^2+x-3
Como o grau do numerador e do denominador é igual, a assíntota horizontal é
y=-11=-1

Passo 3

Calculamos a derivada primeira de
f(x)=-x^2+5x^2+x-3.
Usando a regra do quociente,
f'(x) =(-2x)(x^2+x-3)-(-x^2+5)(2x+1)(x^2+x-3)^2 =-x^2+4x+5(x^2+x-3)^2
O discriminante de x^2+4x+5 é 16-20=-4<0, logo x^2+4x+5>0 para todo x. O denominador ao quadrado também é >0. Assim
f'(x)<0forall xinDom(f)
Conclusão: f é estritamente decrescente em cada um dos três intervalos do domínio e não há extremos relativos.

Passo 4

Agora a derivada segunda. De
f'(x)=-g(x)[d(x)]^2, g(x)=x^2+4x+5,;d(x)=x^2+x-3,
obtemos após cálculo
f''(x) =2,x^3+6x^2+15x+11l(x^2+x-3r)^3
O polinômio p(x)=x^3+6x^2+15x+11 tem discriminante negativo, logo apenas uma raiz real
x0approx-1,18
Esse é o único ponto em que f''(x)=0 (e pertence ao domínio). A concavidade muda aí. Analisando o sinal de f'' nos quatro subintervalos:
  • Em (-infty,,-2,3028): d(x)>0, p(x)<0 Rightarrow f''<0 (côncava para baixo).
  • Em l(-2,3028,,-1,18r): d(x)<0, p(x)<0 Rightarrow f''>0 (côncava para cima).
  • Em l(-1,18,;1,3028r): d(x)<0, p(x)>0 Rightarrow f''<0 (côncava para baixo).
  • Em (1,3028,infty): d(x)>0, p(x)>0 Rightarrow f''>0 (côncava para cima).
O ponto de inflexão é
l(x0,,f(x0)r)approxl(-1,18,,-1,295r)

Passo 5

Resumo da análise:
1. Extremos relativos: nenhum ( f' nunca muda de sinal).
2. Monotonicidade: f é decrescente em cada intervalo
l(-infty,tfrac-1-raiz132r),; l(tfrac-1-raiz132,tfrac-1+raiz132r),; l(tfrac-1+raiz132,inftyr)
3. Concavidade e ponto de inflexão:
  • Côncava para baixo em (-infty,-2,3028) e (-1,18,1,3028).
  • Côncava para cima em (-2,3028,-1,18) e (1,3028,infty).
  • Ponto de inflexão em xapprox-1,18.
    4. Assíntotas:
  • Verticais em x=tfrac-1pmraiz132.
  • Horizontal em y=-1.
Esboço qualitativo: três ramos, todos decrescentes; cada ramo se aproxima de y=-1 para xtopminfty; em cada assíntota vertical aparece descontinuidade infinita; há mudança de concavidade em xapprox-1,18.

Resposta

Extremos relativos: nenhum.
Crescimento/decrescimento: f é estritamente decrescente em
l(-infty,tfrac-1-raiz132r),;l(tfrac-1-raiz132,tfrac-1+raiz132r),;l(tfrac-1+raiz132,inftyr)
Ponto de inflexão:
l(-1,18,,-1,295r).
Concavidade:
côncava para baixo em (-infty,-2,3028) e (-1,18,1,3028);
côncava para cima em (-2,3028,-1,18) e (1,3028,infty).
Assíntotas verticais:
x=tfrac-1pmraiz132.
Assíntota horizontal:
y=-1.
Esboço: três ramos decrescentes delimitados pelas assíntotas verticais, todos tendendo a y=-1 no infinito, com inflexão em xapprox-1,18.

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