Encontre os extremos relativos da função, os intervalos onde função é crescente, decrescente, os pontos de inflexão, os intervalos onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo, as assíntotas horizontais, as assíntotas verticais e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
O enunciado pede análise completa da função
Isso envolve domínio, assíntotas verticais e horizontais, derivadas primeira e segunda para achar monotonicidade, extremos relativos, concavidade e pontos de inflexão, e por fim um esboço do gráfico. Vamos usar cálculo de derivadas de funções racionais e análise de sinais.
Passo 2
Domínio:
Logo
e há assíntotas verticais em
Reescrevendo
Como o grau do numerador e do denominador é igual, a assíntota horizontal é
Passo 3
Calculamos a derivada primeira de
.
Usando a regra do quociente,
Usando a regra do quociente,
O discriminante de
é
, logo
para todo
. O denominador ao quadrado também é
. Assim
Conclusão:
é estritamente decrescente em cada um dos três intervalos do domínio e não há extremos relativos.
Passo 4
Agora a derivada segunda. De
obtemos após cálculo
O polinômio
tem discriminante negativo, logo apenas uma raiz real
Esse é o único ponto em que
(e pertence ao domínio). A concavidade muda aí. Analisando o sinal de
nos quatro subintervalos:
- Em
: , (côncava para baixo). - Em
: , (côncava para cima). - Em
: , (côncava para baixo). - Em
: , (côncava para cima).
O ponto de inflexão é
Passo 5
Resumo da análise:
- Côncava para baixo em
e . - Côncava para cima em
e . - Ponto de inflexão em
.
. Assíntotas: - Verticais em
. - Horizontal em
.
Esboço qualitativo: três ramos, todos decrescentes; cada ramo se aproxima de
para
; em cada assíntota vertical aparece descontinuidade infinita; há mudança de concavidade em
.
Resposta
Extremos relativos: nenhum.
Crescimento/decrescimento: é estritamente decrescente em
Ponto de inflexão:
.
Concavidade:
côncava para baixo em e
;
côncava para cima em e
.
Assíntotas verticais:
.
Assíntota horizontal:
.
Esboço: três ramos decrescentes delimitados pelas assíntotas verticais, todos tendendo a no infinito, com inflexão em
.
Crescimento/decrescimento:
Ponto de inflexão:
Concavidade:
côncava para baixo em
côncava para cima em
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Esboço: três ramos decrescentes delimitados pelas assíntotas verticais, todos tendendo a