Calcule , onde é o paralelogramo com equações paramétricas .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla . A superfície é um paralelogramo definido pelas equações paramétricas , , , com e . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especialmente o conceito de derivadas parciais e produto vetorial para encontrar a área diferencial .
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a superfície em termos vetoriais. Vamos definir o vetor posição como:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 3
Com as derivadas parciais e calculadas, agora vamos encontrar o produto vetorial . Esse produto nos dá um vetor perpendicular à superfície e sua magnitude é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores e .
Vamos calcular:
Expandindo o determinante:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a magnitude do vetor |ru times rv| = raiz3^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz9 + 1 + 4 = raiz14 , que nos dará o valor de .
Então, .
Passo 5
Com isso, podemos montar a integral dupla:
integral duplaS(x + y + z) , dS = integral duplaD (x + y + z) cdot raiz14 , du , dv
Aqui, x + y + z = (u + v) + (u - v) + (1 + 2u + v) = 2u + 1 + 2u + v = 4u + 1 + v é a região no plano raiz14 integral duplaD (4u + 1 + v) , du , dv definida por e .
Vamos expressar em termos de e :
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
raiz14 integral0^2 integral0^1 (4u + 1 + v) , dv , du
Primeiro, integraremos em relação a integral0^1 (4u + 1 + v) , dv = [4u v + v + v^22]0^1 = 4u(1) + 1 + 12 - 0 = 4u + 32 :