Calcule integral duplaS(x+y+z) d S, onde S é o paralelogramo com equações paramétricas x=u+v, y=u-v, z=1+2 u+v, com 0 <= u <= 2 e 0 <= v <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla . A superfície é um paralelogramo definido pelas equações paramétricas , , , com e . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especialmente o conceito de derivadas parciais e produto vetorial para encontrar a área diferencial .

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a superfície r(u, v) = lang<= x, y, z rang<= = lang<= u + v, , u - v, , 1 + 2u + v rang<= em termos vetoriais. Vamos definir o vetor posição ru = partial rpartial u = lang<= 1, , 1, , 2 rang<= como:
rv = partial rpartial v = lang<= 1, , -1, , 1 rang<=
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 3

Com as derivadas parciais ru times rv = i & j & k 1 & 1 & 2 1 & -1 & 1 e ru times rv = i(1 cdot 1 - 2 cdot (-1)) - j(1 cdot 1 - 2 cdot 1) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 1) calculadas, agora vamos encontrar o produto vetorial = i(1 + 2) - j(1 - 2) + k(-1 - 1) . Esse produto nos dá um vetor perpendicular à superfície = 3i + j - 2k e sua magnitude é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores e .
Vamos calcular:
Expandindo o determinante:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a magnitude do vetor |ru times rv| = raiz3^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz9 + 1 + 4 = raiz14 , que nos dará o valor de .
Então, .

Passo 5

Com isso, podemos montar a integral dupla:
integral duplaS(x + y + z) , dS = integral duplaD (x + y + z) cdot raiz14 , du , dv
Aqui, x + y + z = (u + v) + (u - v) + (1 + 2u + v) = 2u + 1 + 2u + v = 4u + 1 + v é a região no plano raiz14 integral duplaD (4u + 1 + v) , du , dv definida por e .
Vamos expressar em termos de e :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
raiz14 integral0^2 integral0^1 (4u + 1 + v) , dv , du
Primeiro, integraremos em relação a integral0^1 (4u + 1 + v) , dv = [4u v + v + v^22]0^1 = 4u(1) + 1 + 12 - 0 = 4u + 32 :
integral0^2 (4u + 32) , du = [2u^2 + 32u]0^2 = 2(4) + 32(2) - 0 = 8 + 3 = 11
Agora, integraremos em relação a raiz14 times 11 = 11raiz14 :
Multiplicando pelo :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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