Encontre
(a)
e seu domínio, onde
e
.
(b) A inversa de
, seu domínio e imagem, sendo que
.
(a)
(b) A inversa de
Passo 1
O enunciado tem duas partes: (a) compor
e
e achar o domínio de
, sabendo que
e
; (b) encontrar a inversa de
, além de especificar o domínio e a imagem dessa inversa. Vamos usar regras de composição de funções, condições de existência do logaritmo e o processo padrão de inverter uma função.
Passo 2
Para (a), a composição é
Como o logaritmo só está definido para argumento positivo, precisamos de
Passo 3
Resolvendo a inequação
sabemos pelo estudo de sinais que o produto é positivo quando
ou
.
Logo,
Logo,
com domínio
Passo 4
Para (b), seja
. Invertendo, temos
Assim a inversa é
O domínio de
é
, isto é
, então a imagem de
é todo
. Na inversa, domínio e imagem se trocam: o domínio de
é
e sua imagem é
.
Resposta
(a)
, domínio
ou
.
(b) , domínio
, imagem
.
(b)