Encontre
(a) f circ g e seu domínio, onde f(x)=ln x e g(x)=x^2-x-2.
(b) A inversa de f, seu domínio e imagem, sendo que f(x)=ln (x+3).

Passo 1

O enunciado tem duas partes: (a) compor f e g e achar o domínio de fcirc g, sabendo que f(x)=ln x e g(x)=x^2-x-2; (b) encontrar a inversa de f(x)=ln(x+3), além de especificar o domínio e a imagem dessa inversa. Vamos usar regras de composição de funções, condições de existência do logaritmo e o processo padrão de inverter uma função.

Passo 2

Para (a), a composição é
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=lnl(x^2 - x - 2r)
Como o logaritmo só está definido para argumento positivo, precisamos de
x^2 - x - 2 > 0

Passo 3

Resolvendo a inequação
x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)>0,
sabemos pelo estudo de sinais que o produto é positivo quando x< -1 ou x>2.
Logo,
(fcirc g)(x)=lnl(x^2 - x - 2r),
com domínio
,xinRmid x< -1;cup;,xinRmid x>2

Passo 4

Para (b), seja y=f(x)=ln(x+3). Invertendo, temos
y=ln(x+3) Longrightarrow x+3=e^y Longrightarrow x=e^y-3
Assim a inversa é
f^-1(y)=e^y-3
O domínio de f é x+3>0, isto é x>-3, então a imagem de f é todo R. Na inversa, domínio e imagem se trocam: o domínio de f^-1 é R e sua imagem é ,x>-3.

Resposta

(a) (fcirc g)(x)=ln(x^2 - x - 2), domínio x< -1 ou x>2.
(b) f^-1(x)=e^x-3, domínio R, imagem (-3,infty).

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